1、第 1 页 共 7 页拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较摘 要在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。关键词 拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较一、 背景在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在
2、某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数 在区间 上存在且连续，但却难以找到它)(xf,ba的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表） 。显然，要利用这张函数表来分析函数 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是)(f非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式） ，构造某个简单函数 作为 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常)(xP)(f用的方法。如设函数 在区间 上连续，且在 个不同的点 上分)(fy,ba1nbxan,10别取值 。n,10插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数 ，)
3、(P使 ),10()(niyxPi 而在其他点 上，作为 的近似。i(xf通常，称区间 为插值区间，称点 为插值节点，称式 为插值,banx,10 iiyxP)(条件，称函数类 为插值函数类，称 为函数 在节点 处的插值函数。)(P)(f n,10求插值函数 的方法称为插值法。)(xP插值函数类 的取法不同，所求得的插值函数 逼近 的效果就不同。它的选)(x)(f择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不
4、超过 的代数多项式nnxaaxP10)(第 2 页 共 7 页使 ，其中， 为实数。),10()(niyxPinna,10拉格朗日插值法即是寻求函数 （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数 。)(xL )(xf相似的，牛顿插值法则是通过 （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。Nn二、 理论基础（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件 次插值多项式 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点n)(xPn中任一点 ，作一 n 次多项式 ，使它在该点上取值为 1，),10(ix0(kx)(xlk而在其余点 上取值为零，即),1,(ixkilik0)上式表明 个点 都是 次多项式 的零点，故可设nnkxx,11
5、 )(xlk1110 )()()( nkkkkAxl 其中， 为待定系数。由条件 立即可得kxl )()()( 110 nkkkk xx故 )()()() 110 nkkkkk xxl 由上式可以写出 个 次插值多项式 。我们称它们为在 个n (,10xll 1n节点 上的 次基本插值多项式或 次插值基函数。x,10利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的 次插值多项式n)()()(10 xlyxlyl n根据条件 ，容易验证上面多项式在节点 处的值为 ，kilik ix),10(niy因此，它就是待求的 次插值多项式 。n)(xPn形如 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为)()(10l
6、yxlyl，即)(xLn第 3 页 共 7 页)()()() 11021 nkkkk nn xxxlylylxL 作为常用的特例，令 ，由上式即得两点插值公式 n，这是一个线性函数，故又名线性插值。)()(0101xyxL若令 ，则又可得到常用的三点插值公式n )()()()( 1202210120102 xxyxyxxy 这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。（二）牛顿插值法由线性代数知，任何一个不高于 次多项式，都可以表示成函数n的线性组合。既可以吧满足插值条件)()(,)(,1 11010 nxxxx 的 次插值多项式写成如下形式,)(niyPi )()()()( 11010201
7、0 nnxxaxaxa 其中， 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为 ，即 k (N110102010 )()()()()( nnn xxxxxN 因此，牛顿插值多项式 是插值多项式 的另一种表示形式。Nn(P设函数 在等距节点 处的函数值 为已知，其中)(xf ),0khxkkyxf)(是正常数，称步长。我们称两个相邻点 和 处函数之差 为函数 在点h k1xky1)(xf处以 为步长的一阶向前差分，记作 ，即kx yk1于是，函数 在各节点处的一阶差分依次为)(xf 11200 , nnyyy又称一阶差分的差分 为二阶差分。一般的，定义函数 在kkkk yy12)( )
8、(xf点 处的 阶差分为 。kxmmm1在等距节点 情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。),0(0nkhxk事实上，由插值条件 可得 ；再由插值条件 可得)yNn0ya1)(yxNn；一般的，由插值条件 可得 。hyxa01 knxN)( ),2!0nkhak第 4 页 共 7 页于是，满足插值条件 的插值多项式为iinyxN)( )()(!)(!2)( 1101000 nnn xxhyxhhyxN 三、 二者的比较拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始” （见下
9、面例题）的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。现用一实例比较拉格朗日插值法与牛顿插值法例 已知函数表如下：x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6sinx 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942 0.47943 0.56464计算 sin(0.12)的值。利用拉格朗日插值法计算过程如下：（计算程序代码见附件）因为 0.12 位于 0.1 与 0.2 之间，故取节点 2.0,1.0x利用线性插值所求的近似值为 1958.0 1.0219867.02.3).(2.sin1L计算结
10、果如下图利用抛物插值所求的近似值为第 5 页 共 7 页1975.0)2.03)(1.0(2. )3.02)(1.0(.19867.)(.(83.)102sin L计算结果如下图利用牛顿插值法计算过程如下：构造差分表如下：x sinx yy2y30.10.20.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096利用线性插值所求的近似值为 1960.84.283).()2.0sin(N利用抛物插值所求的近似值为 1976.001.)2( )019.(2).0(8483.)().0sin(2N从
11、上面的计算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。而牛顿插值则避免了这一问第 6 页 共 7 页题，这样大量的节省了乘、除法运算次数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相当复杂的函数 ，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。)(xf参考文献1易大义，沈云宝，李有法编.计算方法.杭州：浙江大学出版社，20022冯康等编.数值计算方法.北京：国防工业出版社，19873李庆阳，王能超，易大义编.数值分析（第四版）.北京：清华大学出版社，施普林格出版社，20014Burden R L，Faires J D，Reynolds A C
12、. Numerical Analysis. Alpine Press,19815易大义，陈道琦编.数值分析引论.杭州：浙江大学出版社，1998Comparison between Lagrange interpolation method and Newton interpolation methodAbstract In the production and scientific researches, there appears a variety of functions. For some function, it is difficult to find out its analyt
13、ical expression. Though in some cases, the analytical expressions of the structure can be worked out, it is inconvenient to use them because of the complexity of structure. Interpolation method is a kind of old way to solve such problems, which is now commonly used. It is not only applied in the act
14、ual production or scientific researches directly and widely, but also become the foundation of further study of numerical calculation method. Lagrange interpolation method and Newton interpolation law are two commonly used simple interpolation methods. This paper is a discussion of theory and the co
15、mparison between Lagrange interpolation method and Newton interpolation method. Key Words Lagrange interpolation ，Newton interpolation ，Interpolation polynomials，comparison 第 7 页 共 7 页附件：#include void main()float x6=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6;int n,k,j;float f6=0.09983,0.19867,0.29552,0.38942,0.47943,0.56464;float p,a,sum=0;printf(“输入插值次数 n 和所要求 sina 的 a 的值:“);scanf(“%d %f“,for(k=0;k=n;k+)p=1;for(j=0;j=n;j+)if(k!=j)p=p*(a-xj)/(xk-xj);sum=sum+p*fk;printf(“x=%f,y=%f“,a,sum);
