1、锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想
2、，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在 RtABC 中，C=90，如果锐角 A 确定：(1)sinA= ，这个比叫做A 的正弦. (2)cosA= ，这个比叫做A 的余弦.(3)tanA= ，这个比叫做A 的正切.要点诠释： (1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示A 三个三角函数值，书写时习惯上
3、省略符号“”，但不能写成 sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出 sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA) 2，而不能写成 sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成 等.2.锐角三角函数的定义 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数.要点诠释： 1. 函数值的取值范围对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是A 的函数.同样，cosA、tanA 也是A 的函数，其中A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量A 的取值范围是 0A90
4、，函数值的取值范围是 0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：sin 2Acos 2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函数值A 30 45 60sinAcosAtanA 130、45、60角的三角函数值和解 30、60直角三角形和解 45直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的依据是直角三角形中各
5、元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即A+B=90； 边边关系：勾股定理，即 ；边角关系：锐角三角函数，即 要点诠释： 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； (2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意
6、义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度： ； 坡角: . (2)方位角： (3)仰角与俯角： 要点诠释：1解直角三角形的常见类型及解法已知条件 解法步骤两直角边(a，b)由 求A，B=90A，两边斜边，一直角边(如 c，a)由 求A，B=90A，锐角、邻边(如A，b)B
7、=90A，一直角边和一锐角 锐角、对边(如A，a)B=90A，RtABC一边一角斜边、锐角(如 c，A) B=90A，2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解3锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角
8、三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：【典型例题】类型一、锐角三角函数1在 RtABC 中，C90，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则A 的正弦值是( )A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D不变【答案】 D；【解析】根据 知 sinA 的值与A 的大小有关，与 的比值有关sin的 对 边斜 边 A的 对 边斜 边当各边长度都扩大为原来的 2 倍时，其 的比值不变故选 D.A的 对 边斜 边【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系举一反三：【变式 1】
9、已知，如图， 中， ， ， ，求 cosA 及 tanABCEBDAC25E【答案】易证点 B、C、D、E 四点共圆，ADEABC，cos A= tanA=2,5ADEBC21.BDA变式 2】如图所示，已知ABC 是O 的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明 sinisinabcC1A BCDE 2 【答案】 证明：O 是ABC 的外接圆，设圆的半径为 R，连结 AO 并延长交O 于点 D，连结 CD，则BDAD 是O 的直径，ACD90即ADC 为直角三角形 ， sini2CbBDAR2sinB同理可证： ， iaic 2isiniabcRABC类型二、 特殊角三角函数值的计算2已
10、知 a3，且 ，则以 a、b、c 为边长的三角形面积等于( )21(4tan5)30bcA6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根据题意知 解得 t0,132bc4,5.c所以 a3，b4，c5，即 ，其构成的三角形为直角三角形，且C90，所22ab以 162S【总结升华】利用非负数之和等于 0 的性质，求出 b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意 tan45的值不要记错举一反三：【变式】计算： 60【答案】原式= =tan60t452sin31223类型三、 解直角三角形3如图所示，在等腰 RtABC 中，C90，AC6，D 是 AC 上一点，若 ，则 AD 的长
11、为( 1tan5DBA)A2 B C D132【思路点拨】 如何用好 是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，tan5A则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等【答案】 A；【解析】 作 DEAB 于点 E因为ABC 为等腰直角三角形，所以A45，所以 AEDE又设 DEx，则 AEx，由 知 BE5x，所以 AB6x，由勾股定理知 AC2+BC2AB 2，1tan5DB所以 62+62(6x) 2， ，AD AE 22【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三
12、边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4如图所示，直角ABC 中，C90，AB ，sin B ，点 P 为边 BC 上一动点，PDAB，PD 交 AC 于点255D，连接 AP， (1)求 AC，BC 的长；(2)设 PC 的长为 x，ADP 的面积为 y，当 x 为何值时，y 最大，并求出最大值【思路点拨】 (1)在 RtABC 中，由 AB ，sin B ，易得 AC2，再由勾股定理求 BC255AC(2) ，只要把 AD 用 x 表示即可求出ADP 的面积 y，12ADPSC由
13、PDAB 可得 ，从而求出 ，则 BA12D12x【答案与解析】(1)在 RtABC 中，由 ，AC2，由勾股定理得 BC45sin(2)PDAB，ABCDPC， PCx，则1CAPB，当 x2 时，y 有最大值，最大值是 122112()4yxxx【总结升华】 近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形在函数中，在直角坐标系中求点的坐标，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代举一反三：【变式】如图，设 P 是矩形 ABCD 的 AD 边上一动点，
14、于点 E， 于 F， ，PACPBD3A4AD求 的值PEF【答案】如图，sin1= sin2=由矩形 ABCD 知1=2，则 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=.PEA.FD，CD3=A5所以 PE+PF= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1=3124=5类型五、三角函数与实际问题5某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶 A 处测得塔尖 M 的仰角为 ，塔座 N 的仰角为 ；乙在一楼B 处只能望到塔尖 M，测得仰角为 (望不到底座)，他们知道楼高 AB20
15、m，通过查表得： 0.572 3，tan0.2191， 0.7489，请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度 MN 的值tantan【答案与解析】 如图所示，设地平线 BD、水平线 AE 分别交直线 MN 于 D、E，显然 AEBD，不妨设为 m，则在 RtAEM 中，MEmtan，在 RtAEN 中，NEmtanMNm(tantan)在 RtBDM 中，MDmtan，而 ABDEMDMEm(tantan)， ， tanABm(tan)ABMN将 AB20(m)， 0.5723， 0.2191， 0.7489 代入得 MN40(m)ttta可测得铁塔的高度 MN40m.【总结升华】构造直角
16、三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.6如图所示，帆船 A 和帆船 B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于 O 点训练时要求A，B 两船始终关于 O 点对称以 O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正方向分别表示正东、正北方向设 A，B 两船可近似看成在双曲线 上运动湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与 A，B 两船恰4yx好在直线 yx 上时，三船同时发现湖面上有一遇险的 C 船，此时教练船测得 C 船在东南 45方向上，A 船测得 AC 与AB 的夹角为 60，B 船也同时测得 C 船的位置(假设 C 船位置不再改变，A，B，C 三船可分别用 A，
17、B，C 三点表示)(1)发现 C 船时，A，B，C 三船所在位置的坐标分别为 A(_，_)，B(_，_)和C(_，_)；(2)发现 C 船，三船立即停止训练，并分别从 A，O，B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设 A，B 两船的速度相等，教练船与 A 船的速度之比为 3:4，问教练船是否最先赶到?请说明理由【思路点拨】作 ADx 轴，在等腰直角三角形 ADO 中 结合点 A 在 上，不难求出 A 点坐标，而 B 与 A 关于原点对4yx称注意到ABC 为等边三角形，连 OC，作 CHx 轴解直角三角形，求出 CH、OH 的长，即可求出点 C 坐标在求点 A、B、C 坐标过程中，可求出 AC、
18、OC 的长再根据两船速度比，分别用含字母的式子表示所用的时间，再比较大小【答案与解析】(1)A(2，2)；B(-2，-2)；C( ， )23(2)作 ADx 轴于 D，连接 AC，BC 和 OC如图所示 A 的坐标为(2，2)，AOD45，AO C 在 O 的东南 45方向上， AOC45+4590 AOBO， ACBC又 BAC60 ABC 为正三角形， ACBCAB2AO OCBCcos30 423426由条件设：教练船的速度为 3m，A、B 两船的速度均为 4m则教练船所用的时间为： ，A、B 两船所用的时间均为 教练船不是最先赶到263m4m【总结升华】 （1）一是通过问题提供的信息，
19、知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系，把变量联系起来就得到函数的表达式.锐角三角函数全章复习与巩固-巩固练习（提高）一、选择题1. 计算 tan 60+2sin 452cos 30的结果是( ) A2 B C D1322如图所示，ABC 中，AC5， ， ，则ABC 的面积是( )A B12 C14 cosB3sin5CD213如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到 ，ACB则
20、tan 的值为( )A B C D1213424第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图4如图所示，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 的距离，在 A 点测得BAD30，在 C 点测l得BCD60，又测得 AC50 米，那么小岛 B 到公路 的距离为( )lA25 米 B 米 C 米 D 米531032535如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为 40 cm，高为 55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ) A10 cm B20 cm C30 cm D35 cm6如图所示，已知坡面的坡度 ，则坡角 为( ) A15 B
21、20 C30 D 4513i:第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图7如图所示，在高为 2 m，坡角为 30的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )A4 m B6 m C m D42(23)m8因为 ， ，所以 ；因为 ，1sin3021sin0sin0si180sin32sin45，所以 ，由此猜想，推理知：一般地，当 为锐角时有i5i5i(845)isin(180+ )-sin ，由此可知：sin240( ) A B C D 1-22-3-2-3二、填空题 9如图，若 AC、BD 的延长线交于点 E， ，则 = ； = 51CDBcosCEtanEB10如图，ADCD，AB=10，BC
22、=20，A=C=30，则 AD 的长为 ；CD 的长为 .A BC DEO 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图11如图所示，已知直线 ，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四1l23l4条直线上，则 _sin12如果方程 的两个根分别是 RtABC 的两条边，ABC 最小的角为 A，那么 tanA 的值为_ 240x_13. 已知 ，则锐角 的取值范围是_ _21sinsin14. 在ABC 中，AB8，ABC30，AC5，则 BC_ _15. 如图，直径为 10 的 A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)， B 是 y 轴右侧 A 优弧上一
23、点,则 OBC 的余弦值为 . 16. 如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，DBC=45，翻折梯形 ABCD，使点 B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点F、E，若 AD=2，BC=8.则(1)BE 的长为 . (2)CDE 的正切值为 .第 15 题图 第 16 题图三、解答题 17如图所示，以线段 AB 为直径的O 交线段 AC 于点 E，点 M 是 的中点，OM 交 AC 于点 D，ABOE60，cos C ，BC 123(1)求A 的度数；(2)求证：BC 是O 的切线；(3)求 MD 的长度18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN，已知 C 点周围 200 米范围内为原始森林保护区，在 MN 上的点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 45方向上，从 A 向东走 600 米到达 B 处，测得 C 在点 B 的北偏西 60方向上(1)MN 是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据： 1.732)3(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25，则原计划完成
