1、精品题库试题理数1. (2014 大纲全国 ,9,5 分) 已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点 为 F1、F 2,点 A 在 C 上. 若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=( )A. B. C. D. 答案 1.A解析 1.由题意得 解得|F 2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得 =2,所以 c=2a,即|F 1F2|=4a,cosAF2F1= = = .故选 A.2. (2014 重庆,8,5 分) 设 F1、 F2 分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点, 双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离
2、心率为( )A. B. C. D.3 答案 2.B解析 2.设|PF 1|=m,|PF2|=n,依 题意不妨设 mn0,于是mn= m=3n .a=n,b= nc= n,e= ,选 B.3. (2014 广东,4,5 分) 若实数 k 满足 00,25-k0. - =1 与 - =1 均表示双曲线,又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它 们的焦距相等,故选 A.4. (2014 湖北,9,5 分) 已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2 答案 4.A解析 4.
3、解法一: 设椭圆方程为 + =1(a1b10),离心率 为 e1,双曲线的方程为 -=1(a20,b20),离心率为 e2,它们的焦距为 2c,不妨设 P 为两曲线在第一象限的交点,F1,F2 分别为左,右焦点,则易知解得在F 1PF2 中,由余弦定理得(a 1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60=4c2,整理得 +3 =4c2,所以 + =4,即 + =4.设 a= ,b= , + =ab|a|b|= = = ,故 + 的最大值是,故选 A.解法二:不妨设 P 在第一象限,|PF 1|=m,|PF2|=n.在PF 1F2 中 ,由余弦定理得 m2+n2-m
4、n=4c2.设椭圆的长轴长为 2a1,离心率为 e1,双曲线的实轴长为 2a2,离心率为 e2,它们的焦距为 2c,则+ = = = . = = = ,易知 - +1 的最小值为 .故 = .故选 A.5.(2014 山东,10,5 分)已知 ab0,椭圆 C1 的方程为 + =1,双曲线 C2 的方程为 -=1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( )A.x y=0B. xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 5.A解析 5.设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1= ,e2= .因为 e1e2= ,所以 = ,即 = , = .故双曲
5、线的渐近线方程为 y= x= x,即 x y=0.6.(2014 天津,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条 渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1答案 6.A解析 6.由题意得 =2 且 c=5.故由 c2=a2+b2,得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.7.(2014 课表全国，4 ，5 分)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点, 则点 F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. B.3C. m
6、D.3m答案 7.A解析 7.由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中 a2=3m,b2=3,故 c= =,不妨设 F 为双曲线的右焦点,故 F( ,0).其中一条渐近线的方程为 y= x,即x- y=0,由点到直线的距离公式可得 d= = ,故选 A.8.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线 , 则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )A. B. C. 2 D. 4答案 8. C解析 8. 双曲线的方程为 ，由此可得双曲线的离心率 . 双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所
7、求值为 2.9. (2014 山西忻州一中 、康杰中学、 临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线 ，过其左焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 两点，若双曲 线的右顶点在以 为 直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 答案 9. A解析 9. 令 . 由双曲 线的性质可得 ，也即以 为直径的圆的半径为 ，而右顶点与左焦点的距离为 a+c，由题意可知 ，整理得，两边同除 ， ，解得 或 ，又因为双曲线的离心率大于 1，可得 .10. (2014 山西太原高三模拟考试（一），9) 设 P 在双曲 线 上，F1，F 2 是该双曲线的两个焦点，F 1PF2=90，且
8、F 1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 10. D来源:学*科*网 Z*X*X*K解析 10. 不妨设点 P 在双曲线的右支，设 、 、 ，则根据双曲线的定义可得 ，根据题意可得 、 ，由得 ，代入到中得 ，两边同除 得，又因为 e 1，所以可得 e=5.11. (2014 福州高中毕业班质量检测, 8) 已知 、 是双曲线 ( ) 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点 与点 关于直线 对称，则该双曲线的离心为 ( ) A. B. C. 来源: 学| 科|网 Z|X|X|KD. 2 答案 11. B解析 11. 依题意，过焦点
9、 且垂直于渐近线的直线方程 为 ，联立方程组 ，解得 ，所以对称中心的点的坐标为 ，由中点坐标公式得对称点的坐标为 代入双曲线方程可得，又因为 ，化简得 ，故 .12.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线 中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）A. B. C. D. 答案 12. D解析 12. 因为抛物线 的焦点坐标为 ，准 线方程为 ，所以双曲线的焦点在 轴上，双曲线 的焦点在 轴且为 满足条件. 故选 D.13. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为 ， ，点 为坐标原点，点在双曲线右支上， 内切圆的圆心 为 ,
10、圆 与 轴相切于点 ，过 作直线的垂线，垂足为 ，则 与 的长度依次为( )A. B. C. D. 答案 13. A 解析 13.设 的内切圆与 分别相切于点 、 ,那么： , , 。由双曲线的定义： ,所以 . 设点 ，则 ，所以 ，即 .延长 交 于点 C，在 中， 既是角平分线又是垂线，所以 .所以在 中， = . 选 A .14. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试，9) 已知 、 是双曲线的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 答案 14. C解析 14. 依题意， ， ，一条渐近线的方程 为 ，则
11、到渐近线的距离为 ，设 关于渐近线的对称点为 ，交渐近线于 ，所以，所以 ，即 .15. (2014 河北唐山高三第一次模 拟考试，10) 双曲线 左支上一点 到直线 = 的距离为 , 则 （ ）A. B. 2 C. D. 4答案 15. A 解析 15. 由已知可得 ， ，所以 （舍）或 ，从而，故 ，选 A.16. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线 的左、右焦点分别为 ， , 过左焦点 作圆 的切线，切点为 ，直线 交双曲线右支于点 . 若 ，则双曲线的离心率是（ ）答案 16.C解析 16.由已知可知 ，且 是 的中点，所以 ，从而，在 中， ，故 .17. （2014 广东汕头普通高考模拟考试试题，4）双曲线 的焦点到渐近线的距离为（）A. 2 B. 4C. 1 D. 3 答案 17.C
