1、 1 / 4双曲线知识点总结 班级 姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于0 且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；3. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹是以 F1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4若常数 满
2、足约束条件： ，则动点轨迹不存在；5若常数 ，则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ；2当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 .注意：1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有 ；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， ；当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， .知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线 （a0，b0）的简单几何性质（1）对称性：对
3、于双曲线标准方程 （a0，b0），把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 xa。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线 （a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（a，0），A 2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2
4、叫作双曲线的实轴；设 B1（0，b），B 2（0，b）为 y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作 。因为 ca0，所以双曲线的离心率 。由 c2=a2+b2，可得，所以 决定双曲线的开口大小， 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用
5、来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ，所以离心率。（5）渐近线：经过点 A2、A 1作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B 2作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 ，我们把直线 叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线 与 的区别和联系标准方程图形焦点 ， ，焦距性质范围 ， ，2 / 4对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点轴 实轴长= ，虚轴长= 离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 注意：（1）已知双曲线方
6、程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为 ，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出 即可。（3）与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 （ ，焦点在 轴上， ，焦点在 y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为 ，因此等轴双曲线可设为.知识点六：双曲线图像中线段的几何特征： 双曲线 ，如图：（1）实轴长 ，虚轴长 ,焦距 ，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：， ；（4） 中结合定义 与余弦定理，将有关线段 、 、 和角结合起来.1如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心
7、在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2双曲线标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca，cb，且c2=b2+a2。3如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y 2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上。注意：对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那
8、样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件方程 Ax2+By2=C 可化为 ，即 ，所以只有 A、B 异号，方程表示双曲线。当 时，双曲线的焦点在 x 轴上；当 时，双曲线的焦点在 y 轴上。5求双曲线标准方程的常用方法： 待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确
9、定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论。6如何解决与焦点三角形PF 1F2（P 为双曲线上的点）有关的计算问题？ 与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 、 ，有关角 结合起来，建立 、 之间的关系.3 / 47如何确定离心率 e 的取值情况与双曲线形状的关系？ ：离心率 ，因为 c2=a2+b2，用 a、b表示为 ，当 e 越大时， 越大，即渐近线夹角（含 x 轴）越大，故开口越大；反之，e 越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且 e1。8椭圆、双曲线的区别和
10、联系： 椭圆 双曲线根据|MF 1|+|MF2|=2a 根据|MF 1|MF 2|=2aac0，a2c 2=b2（b0）0ac，c2a 2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a 不一定大于 b）标准方程统一为：类型一：双曲线的定义 1已知O 1：(x+5) 2+y2=4，O 2：(x5) 2+y2=9（1）若动圆 P 与 1， 2均内切，求动圆圆心 P 点的轨迹；（2）若动圆 Q 与 1， 2均外切，求动圆圆心 Q 点的轨迹。解析：（1）设P 半径为 R， O 1与O 2相离， |PO 1|=R2，|PO 2|=R3 |PO 1|PO 2|=1，又|O 1O2|=10由双曲线的定义，P
11、点的轨迹是以 O1，O 2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的右支。（2）设Q 半径为 r，则|QO 1|=r+2，|QO 2|=r+3 |QO 2|QO 1|=1，又|O 1O2|=10由双曲线的定义，Q 点的轨迹是以 O1，O 2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的左支。举一反三：【变式 1】已知定点 F1(2,0)、F 2(2,0)，平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线的是（ ）A|PF 1|PF 2|=3B|PF 1|PF 2|=4C|PF 1|PF 2|=5 D|PF 1|2|PF 2|2=4 【答案】A【变式 2】已知点 F1(0,13)、F 2(0,13)，动点 P
12、到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26，则动点P 的轨迹方程为（ ）Ay=0 By=0（x13 或 x13）Cx=0（|y|13）D以上都不对【答案】C【变式 3】已知点 P(x,y)的坐标满足 ，则动点 P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 答案：B类型二：双曲线的标准方程： 2求与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线的标准方程。解法一： 依题意设双曲线方程为 =1由已知得 ，又双曲线过点， ：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为 ，将点 代入 ，解得，所以双曲线方程为 .【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在 轴，焦距为 10， 的双
13、曲线的标准方程.【答案】3已知双曲线的两个焦点 F1、F 2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。解析：由题意得 2a=24，2c=26。a=12，c=13，b 2=13212 2=25。当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的方程为 。总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y 2的分母的大小，而是看 x2、y 2的系数的正负。 【类型三：双曲线的几何性质 4方程 表示双曲线，求实数 m 的取值范围。4 / 4解
14、析：由题意得 或 或。实数 m 的取值范围为 。总结升华：方程 Ax2+By2=1 表示双曲线时，A、B 异号。【变式 1】k9 是方程 表示双曲线的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【变式 2】求双曲线 的焦距。 【答案】8根据下列条件，求双曲线方程。 （1)与双曲线 有共同的渐近线，且过点 ；（2）一渐近线方程为 ，且双曲线过点 。解析：（1）解法一： 当焦点在 x轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得 ，解得 ，（舍去） 综上所得，双曲线的方程为解法二：
15、设所求双曲线方程为 （ ） ，将点 代入得 ，所以双曲线方程为 即 （2）依题意知双曲线两渐近线的方程是 . 故设双曲线方程为 ，点 在双曲线上， ，解得 ， 所求双曲线方程为 .总结升华：求双曲线的方程，关键是求 、 ，在解题过程中应熟悉各元素（ 、 、 、 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线方程为 （ ）.总结升华：双曲线 的渐近线方程为 即 ；若双曲线的方程为（ ，焦点在 轴上， ，焦点在 y 轴上） ，则其渐近线方程为。总结升华：求双曲线的方程，关键是求 、 ，在解题过程中应熟悉各元素（ 、 、 、 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线方程为 （ ）.8已知双曲线实轴长 6，过左焦点 的弦交左半支于 、 两点，且 ，设右焦点 ，求的周长. 解析：由双曲线的定义有: ， ，.即 .故 的周长 .【变式 1】已知双曲线的方程 ，点 A、B 在双曲线的右支上，且线段 AB 经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F 1 为另一焦点，则 ABF 1 的周长为（ ）A2a+2m B4a+2m Ca+m D2a+4m【B】
