1、解析几何专题经典结论第 1 页，共 15 页有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点 处的切线 平分 在点 处的外角. （椭圆的光学性质）PT12PF2. 平分 在点 处的外角，则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直径的圆，12 PTH除去长轴的两个端点. （中位线）3. 以焦点弦 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）PQ4. 以焦点半径 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）1F5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .（求导或用联立0(,)xy21xyab0P021xyab方程组法）6. 若 在椭圆 外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 ，则切点弦 的0(,)
2、P20 12,P12P直线方程是 021xyab7. 椭圆 ( )的左右焦点分别为 ，点 为椭圆上任意一点 ，2012,F12F则椭圆的焦点角形的面积为 .（余弦定理+面积公式+半角公式）12tanFPSb8. 椭圆 （ ）的焦半径公式：21xyab0a， ( , ， ).（第二定义）10|MFe2|ex10)c2(,)F0(,)Mxy9. 设过椭圆焦点 作直线与椭圆相交 两点， 为椭圆长轴上一个顶点，连结 和 分别,PQAAPQ交相应于焦点 的椭圆准线于 两点，则 .MNN证明： ，xkyc222221 0abkyckbaab，222,POPOcykak，222,PPabcxxb解析几何专题
3、经典结论第 2 页，共 15 页， ，22,NMPQaayyccxx 00MNMNFNFxcyA易得： 42Nbc10. 过椭圆一个焦点 的直线与椭圆交于两点 ，且 为椭圆长轴上的顶点， 和F, PQ12,A1AP交于点 ， 和 交于点 ，则 .（ 其实就在准线上，下面证明他在2AQM2AP1NMFN准线上）证明：首先证明准线， 和 公共点，12设 ， ，不妨设 ，,Pxy,QxyPQx， ，1Pka2ka由 ，12yxk得交点 ，由 ，12PQPQxyayaxA21ykxcab得 ，令 ，222220bkcxkb222MkNakc， ， ， ，PQacbxMPQacPQcyPQyM， ，则
4、，2PQPky2PQPbkNxy222abkaxcNcA再根据上一条性质可得结论。解析几何专题经典结论第 3 页，共 15 页11. 是椭圆 的不平行于对称轴的弦， 为 的中点，则 ，AB21xyab0(,)MxyAB2OMABbka即 。 （点差法）02yKAB12.若 在椭圆 内，则被 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Px21xab0P2002xyxyab（点差法）13.若在椭圆 内，则过 的弦中点的轨迹方程是 .2y0 202xyb（点差法）二、双曲线1. 点 处的切线 平分 在点 处的内角. （同上）PT12PF2. 平分 在点 处的内角，则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直
5、径的圆，12 PTH除去长轴的两个端点. （同上）3. 以焦点弦 为直径的圆必与对应准线相交. （同上）PQ4. 以焦点半径 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切： 在右支；外切： 在左支）1F PP（同上）5. 若 在双曲线 （ ）上，则过 的双曲线的切线方程是：0(,)Pxy21xyab0,ab0.（同上）21ab6. 若 在双曲线 （ ）外 ，则过 作双曲线的两条切线切点为0(,)xy2xy,0P，则切点弦 的直线方程是 .（同上）12P12P021xyab7. 双曲线 （ ）的左右焦点分别为 ，点 为双曲线上任意一点：ab,ab2,F，则双曲线的焦点角形的面积为 .（同上）12F
6、12tPSco8. 双曲线 （ ）的焦半径公式： , 1xy0, (0)2(,)c当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|Fexa当 在左支上时， , （同上）09. 设过双曲线焦点 作直线与双曲线相交 、 两点， 为双曲线长轴上一个顶点，连结 和PQAAP解析几何专题经典结论第 4 页，共 15 页分别交相应于焦点 的双曲线准线于 、 两点，则 .（同上）AQFMNFN10. 过双曲线一个焦点 的直线与双曲线交于两点 、 ，且 为双曲线实轴上的顶点，PQ12,A和 交于点 ， 和 交于点 ，则 .（同上）1P22AP111. 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为
7、 AB 的中点，则ABxyb ),(0yx，即 。 （同上）02KOM 02yxAB12. 若 在双曲线 （ ）内，则被 所平分的中点弦的方程是：0(,)Pxy21xab,ab0P.（同上）202ab13. 若 在双曲线 （ ）内，则过 的弦中点的轨迹方程是：0(,)xy21xyab0,ab0.（同上）202ab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆 的两个顶点为 , ，与 轴平行的直线交椭圆于210xyab1(0)Aa2()y时， 与 交点的轨迹方程是 .12,PA2P2xyb证明： ， ，交点 ，由 ，得1,xy1,xy0,xy12xay，222100yax又 ，则2
8、ab021xyb2. 过椭圆 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 两2a0(,)Axy ,BC点，则直线 有定向且 （常数）.BC20BCk证明：解析几何专题经典结论第 5 页，共 15 页3. 若 为椭圆 上异于长轴端点的任一点， 、 是焦点, , P210xyab1F212PF，则 .21Ftnt2co证法 1（代数）证法二（几何）解析几何专题经典结论第 6 页，共 15 页4. 设椭圆 的两个焦点为 、 , （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，210xyab1F2P在 中，记 , , ，则有 .12PF12PF1212sincea（上条已证）5. 若椭圆 的左、右焦点分别为 、
9、，左准线为 ，则当 时，210xyab1F2l021e可在椭圆上求一点 ，使得 是 到对应准线距离 与 的比例中项.P1Fd2P6. 为椭圆 上任一点， 、 是焦点， 为椭圆内一定点，则P20xyab12FA,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|aAFPA2,P7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆 ，O 为坐标原点， 、 为椭圆上两动点，且 .1aPQOPQ（1） ;222|OPQb（2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为 ;4a（3） 的最小值是 .OPQS2b证明解析几何专题经典结论第 7 页，共 15 页9. 过椭圆 的
10、右焦点 作直线交该椭圆右支于 两点，弦 的垂直平210xyabF,MN分线交 轴于 ，则 .P|2eMN证明10. 已知椭圆 ， 是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于210xyab,ABABx点 , 则 .0()P22x11. 设 点是椭圆 上异于长轴端点的任一点, 、 是焦点，记210xyab1F2，则(1) . (2) .12FP212|cosPF12tanPFSb解析几何专题经典结论第 8 页，共 15 页12. 设 是椭圆 的长轴两端点， 是椭圆上的一点， , ,AB210xyabPPAB, ， 分别是椭圆的半焦距离心率，则有：P,ce(1) .2|os|ab(2) .tn1
11、(3) .2ctPABSba13. 已知椭圆 的右准线 与 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆210xylxEF相交于 两点，点 在右准线 上，且 轴，则直线 经过线段 的中点.,ClBCAC证明14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证解析几何专题经典结论第 9 页，共 15 页16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).e（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别
12、称为内、外点.）（角分线定理+合比公式）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 .（角分线定理）e18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）双曲线1. 双曲线 （ ）的两个顶点为 , ，与 轴平行的直线交双21xyab0,ab1(0)Aa2()y曲线于 时， 与 交点的轨迹方程是 .12,PA2P2xyb2. 过双曲线 （ ）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线xyab0,ab0(,)于 两点，则直线 有定向且 （常数）.,BCB20BCxkay3. 若 为双曲线 （ ）右（或左）支上除顶点外的任一点, 、 是焦点, P21xy
13、ab0ab 1F2, ，则 （或 ）.12F21Ftant2ccotant2co4. 设双曲线 （ ）的两个焦点为 、 , （异于长轴端点）为双曲线上2xyab0,ab1F2P任意一点，在 中，记 , , ，则有：12PF12P1212.sin()cea解析几何专题经典结论第 10 页，共 15 页5. 若双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，左准线为 ，则当21xyab0,ab1F2l时，可在双曲线上求一点 ，使得 是 到对应准线距离 与 的比例中项.1eP1d2PF6. 为双曲线 （ ）上任一点, 、 是焦点， 为双曲线内一定点，则P21xyab0ab1F2A,当且仅当 三点共线且 和
14、在 轴同侧时，等号成立.21|AFPF2,AP2,y7. 双曲线 （ ）与直线 有公共点的充要条件是：2xyab0,0xByC.2BC8. 已知双曲线 （ba 0） ， 为坐标原点， 、 为双曲线上两动点，且 .21OPQOPQ（1） ;222|OPQ（2） 的最小值为 ;4ba（3） 的最小值是 .OPQS29. 过双曲线 （ ）的右焦点 作直线交该双曲线的右支于 两点，弦21xyab0,F,MN的垂直平分线交 轴于 ，则 .MNP|2eMN10. 已知双曲线 （ ）, 是双曲线上的两点，线段 的垂直平分线与21xyab0abABAB轴相交于点 , 则 或 .0()2x20abx11. 设 点是双曲线 （ ）上异于实轴端点的任一点, 、 是焦点，记P21yabab1F2，则：12F(1) .2|cos(2) .12tPFSb12. 设 是双曲线 （ ）的长轴两端点， 是双曲线上的一点，,AB21xya0,abP, , ， 分别是双曲线的半焦距离心率，则有：BPAce(1) .2|cos|bP(2) .tan1e
