1、1高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点 P 到两个定点 的距离之和等于常数（ ） ，12,F1212PFaF这个动点 P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 P 的轨迹为线段 ；若 ，12F2则动点 P 的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中x12bya22abccosinxayb为参数） ，焦点在 轴上时 1（ ） 。yx02. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：2baxa,axby两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点(,0)c0,xy
2、，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ； 离心率： ，椭圆 ，, bce01e越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。ee（2）.点与椭圆的位置关系：点 在椭圆外 ；0(,)Pxy201xya点 在椭圆上 1；点 在椭圆内0(,)Pxy20ba0(,)20xyb3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交；（ 2）相切： 直线与椭圆相切； （3）相离： 直线与椭圆相离； 如:直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_；215xym4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，ykb1
3、2,x则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若AB21x12,y 212yk弦 AB 所在直线方程设为 ，则 。k21ky6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Pxy 02axb如（1）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；21369（2）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在1(0)xyab直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_；（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称； 1342yx
4、mxy4特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对0称问题时，务必别忘了检验 ！椭圆知识点的应用1.如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由ba,焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量
5、的大小关系为：， ，且 。)0(ba)0(ca)(22cba可借助右图理解记忆： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。c,3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。2xy4方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 ）CBA,(2方程 可化为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，yx2 12yx12BCyAx且 A B 时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在BCAx轴上。y5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的
6、位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2共焦点，则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为12byax)0(a，此类问题常用待定系数法求解。122mbyax)(7判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据：xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；x 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。y8如何求解与焦点
7、三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合2121sin21 PFPFSF的方法进行计算解题。将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立211PF、 212121B、 之间的关系. 21P9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为)10(eac， ，用 表示为 。22bac0cba、 )()12be显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，)1(ea)10(e椭圆形状越趋近于圆。题型 1:椭圆定
8、义的运用例 1.已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、B 两点若1,F2159xy1F，则 _.2ABA例 2.如果方程 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.2xky例 3.已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆P2156,MN2(3)1xy上的点，则 的最小值为 2(3)4xyPMN题型 2： 求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点 ； (,)(23,1)AB(2)经过点(2 ， 3)且与椭圆 具有共同的焦点；2946xy(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4.42题型 3:求椭圆
9、的离心率例 1、 中， 若以 为焦点的椭圆经过点 ，则椭圆ABC30,2,3,oABCSV, C的离心率为 .例 2、过椭圆的一个焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 为等腰直角三角形，则2F12F椭圆的离心率为 题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1.已知实数 满足 ,则 的范围为 ,xy2142xy例 2.已知点 是椭圆 （ ）上两点,且 ,则 = ,AB2ymn0nAOBur题型 5：焦点三角形问题例 1.已知 为椭圆 的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知 为一个直角12,F2194xy12,PF三角形的三个顶点，且 ,求 的值.12PF12例 2.已知 为椭圆 C
10、: 的两个焦点，在 C 上满足 的点的个数为 .12,F84xy12PF例 3.已知椭圆的焦点是 ,且离心率 求椭圆的方程; 设点 P 在椭圆)10(,21F1e2上,且 ,求 cos .21PP题型 6: 三角代换的应用3例 1.椭圆 上的点到直线 l: 的距离的最小值为_2169xy90xy例 2.椭圆 的内接矩形的面积的最大值为 2题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断例 1.当 为何值时，直线 与椭圆 相交？相切？相离？myxm2169xy例 2.若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围； )(1Rkxy52 m题型 8：弦长问题例 1.求直线 被椭圆 所截得的弦长. 24yx21
11、9xy例 2.已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1 的直线交椭圆于21A,B 两点，求ABF 2 的面积； 题型 9：中点弦问题例 1. 求以椭圆 内的点 A（2，-1 ）为中点的弦所在的直线方程。185xy例 2.中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，1(0,5)F32yx12求椭圆的方程例 3.椭圆 与直线 相交于 A、B 两点，点 C 是 AB 的中点若2mxnyxy，OC 的斜率为 （O 为原点），求椭圆的方程AB2巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 与 BF 交于 D,且 ,1ABo1=90BD则椭圆的离心
12、率为 2.设 为椭圆 的两焦点，P 在椭圆上，当 面积为 1 时， 的值12,F214xy12FP12PFur为 3.椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是 21369xy42A4. 若 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 , 则此椭12,F1212:3PFFP圆的离心率为 5.在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2c，以 O 为圆心， 为半径的圆，21(0)xyaba过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = 2(,0)ac e双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在 轴）x)0,(12bayx标准方程（焦点在 轴）y)0,(12baxy定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝
13、对值是常数（小于 ）的点的轨迹1F2 12F叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aM21Fa定义范围 ，xayR，yaxR对称轴 轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为2ab对称中心 原点 (0,)O焦点坐标 1Fc2(, 1(0,)Fc2(,)xyP12FxyP 1F24焦点在实轴上， ；焦距：2cab12Fc顶点坐标 （ ,0） ( ,0)a(0, ,) (0， )a离心率21,)ee渐近线方程xaby ayxb共渐近线的双曲线系方程（ ）kb20（ ）ka20直线和双曲线的位置双曲线 与直线 的位置关系：12byaxykxb利用 转化为一元二次方程用判别式确定。2ykx
14、二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长 2211()4ABkxx补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b 这两个字母） ；（2）其标准方程为 ，其中 ；2xyC0（3）离心率 ；e（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；例题分析：例 1、动点 与点 与点 满足 ，则点P1(05)F，2(5)，126PF的轨迹方程为（ ） 2196xy2169xy (3) (3)同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 ，则离心率为（ ）34yx 或 535453例 2、已知双曲线 的离心率为 ，则 的范
15、围为（ ）21xyk2ek 1k0 50k同步练习二:双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 21xyab例 3、设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是P29 320xy12F双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为 13PF2同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程(0)， (215)，为 。例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）(A) -y2=1 和 - =1 (B) -y2=1 和 y2- =1x3y9x23xx3(C)y2- =1 和 x2- =1 (D) -y2=1 和 - =192同步练习四:已知双曲
16、线的中心在原点，两个焦点 分别为 和 ，点 在双曲12F，(50)，()，P线上且 ，且 的面积为 1，则双曲线的方程为（ ）12PF12PF 23xy3xy214xy214yx例 5、与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 A 的双曲线的一个焦点到一1692 3,(条渐近线的距离是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）15同步练习五:以 为渐近线，一个焦点是 F（0，2）的双曲线方程为_.xy3例 6、下列方程中，以 x2y=0 为渐近线的双曲线方程是 (A) 12yx)D(1y2x)C(16y4)B(14x22 同步练习六:双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是(0，3)，那么 k
17、的值是 例 7、经过双曲线 的右焦点 F2作倾斜角为 30的弦 AB，213yx（1）求|AB|.（2）F 1是双曲线的左焦点，求F 1AB 的周长同步练习七过点（0，3）的直线 l 与双曲线 只有一个公共点，求直线 l 的方程。2143xy高考真题分析1.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线CxC的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）xy162,AB43()()2()()D2.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 ： 的离心率为 2.若抛物线1C210,)xyab的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为2:(0)Cxpy
18、2C(A) (B) (C) (D)83263xy28xy16xy3.【2012 高考全国文 10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，1F22:CP，则12|PFcosP（A） （B） （C） （D）43534454.（2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线21(0)9xya的渐近线方程为 320,xy则a的值为（ ）A4 B3 C2 D1 5.【2012 高考江苏 8】 （5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为xOy214xym，则 的值为 5m抛物线抛物线)0(2pxy)0(2pxy)0(2pyx)0(2pyx定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹
19、叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl =点 M 到直线 的距离l范围 0,xyR0,xyR,0xy,0xRy对称性 关于 轴对称 关于 轴对称( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p焦点焦点在对称轴上顶点 (0,)O离心率 =1e2px2px2py2py准线方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离 pxyOlF xyOlFlFxyOxyOlF6焦半径 1(,)Axy12pFx12pAFx12pAFy12pAFy焦 点弦 长 B12()12()12()12()以 为直径的圆必与准线 相切ABl若 的倾斜角为 ，则
20、AB2sinp若 的倾斜角为 ，则AB2cospAB124x21yp焦点弦 的几条性质 1(,)xy2BAFBF切线方程 00()ypx00()ypx00()xpy00()xpy1、直线与抛物线的位置关系直线 ，抛物线 ， 由 ，消 y 得：:lkb2:C2kbypx（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；0，直线 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 ： 抛物线 ，
21、lbkxy2:Cypx(0)联立方程法：pxybk20)(22bxpk设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出1yA2B21,x，bxkbxky)(12121 212)(在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如(1)相交弦 AB 的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2（2）. 中点 , ， )(0xM1x0点差法：设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得),(1yA),(2yB将两式相减，可得121pxy2px )(2)(21121 xpyy2121y（1）在涉及斜率问题时， 21ypkAB（2）在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ，),(0yxM，即 ，02121 ypypxy0ypkAB同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点)(xl BA、是弦 的中点，则有 （注意能用这个公式的条件：),(0yxMABpxxkAB0211）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）o x2,yFy 1,A
