1、第十一章几何学新方法的开创与几何学的大革命一种 新的数学方法 引入数学，往往会产生一种 新的数学分支。 在几何中 新的数学方法，便产生了一系列的 几何学的新分支 。笛卡儿和费玛把代数方法引入几何。创立了解析几何；笛沙格、帕斯卡、彭色列把射影变换引入几何，开创了射影几何学；欧拉、蒙日将微积分方法引入几何，创建了微分几何学。但是上述方法的创新、对象的扩大，而思想体系仍然是属于传统的欧氏几何。 在几何学的发展过程中，由于人们对平行公设的否定，突破了传统的欧氏几何，创立了非欧几何，成了几何学上的一场大革命。1、射影几何学 射影几何学起源于绘画的透视。这甚至可以以上溯到远古时代。 欧洲文艺复兴时期透视学
2、的蓬勃发展，给射影几何的成长准备了良好的条件。 射影几何真正的创立是在 17世纪，它最早的奠基人是法国的两位数学家笛沙格和帕斯卡。笛沙格 1591年生于法国里昂， 1661年卒于同地。笛沙格曾在法国军队当过军官，以后在巴黎公开讲学，又当过建筑师和工程师。他自学成才，对透视学极有研究。笛沙格的学术成就及影响 1636年他在巴黎出版了 用透视法表示对象的一般方法 一书，这是射影几何学的第一本著作，在这本书中，笛沙格已引入了无穷远点、无穷远线、交比、对合等射影几何的许多概念。 笛卡儿、费玛、帕斯卡等对此都极为推崇。 “帕斯卡曾一度把笛沙格看作是他的大部分灵感的来源 ” 。帕斯卡 1623年 6月 1
3、9日生于法国中部克勒蒙菲朗， 1662年8月 19日卒于巴黎。他 12岁就发现了三角形内角和定理， 16岁就发现了射影几何的一个出色定理 帕斯卡六边形定理。他从这个定理出发，导出了 400条以上的推论， 对射影几何做出了重要贡献。帕斯卡遗事 帕斯卡终生为病魔所缠，失眠症和牙痛症经常骚扰他的安宁 1658年某夜，难以忍受的牙疼折磨着帕斯卡，使他彻夜不能入睡。一气之下，帕斯卡奋起工作，竭力思索摆线的道理。说也奇怪，竟使他忘却了痛苦。于是穷八昼夜之功，完成了 摆线论 的名著，解决了许多摆线问题。这对年青的莱布尼茨有很大的影响。 25岁时，当他正享有科学家的盛誉，竟突然决定放弃这些科学研究，献身于哲学
4、和宗教。这种难以理解的行动，不能不是科学的极大损失。彭色列（ 1788.7.1-1867.12.23） 彭色列是蒙日的学生 生于法国梅斯 ,卒于巴黎 在巴黎理工科大学学习,1812年参加军队 ,远征莫斯科 ,惨败。 1813年被投进监狱， 在狱中，他潜心研究图形经过投影后不变的性质，进而开辟了新的几何领域。 1814年 6月出狱后，将狱中心得整理，于1822年完成巨著 论投影的性质 ，形成了系统的理论，使射影几何成为数学的一个新的分支。射影几何学的发展 在彭色列之后，斯坦纳推进了射影几何的综合的发展，他 1832 年出版了 几何形的相互依赖性的系统发展 ； 查斯纳斯继承了彭色列和斯坦纳的工作，
5、弄清了 “交比 ”的含义，引进了 “非调和比 ”（即交比）、 “单应 ”、 “对射 ”等概念，给出了查斯纳斯定理； 此后，梅比乌斯（ A.F.Mobius,1790-1868,德）、普吕克引进了齐次坐标，开创了代数的射影几何，使彭色列的射影几何推到一个新的高度。2 、微分几何 微分几何是以微积分为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学。 微分几何在很大程度上是微积分和微分方程的自然产物。其基本内容是采用无穷小的方法来研究曲线和曲面的性质。 “微分几何 ”这一术语是比安基（ L.Bianchi,1856-1928）在 1894年第一次使用的。 克莱罗 1731年出版的 关于双重曲线的研究 可以看作 微分几何的开端 。
