1、 高三 数学 第 1 页 共 9 页 2017 学年第 二 学期高 三 第二次 教学质量调测 数学试卷 参考公式： 球的表面积公式 24SR ； 球的体积公式 343VR， 其中 R 表示球的半径 . 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 . 1 已知 集合 2 2,A x y x x x R ， ln 1,B x x x ，则 AB A. 1,2 B (0,2 C 1,2 D 1,e 2“ 1cos 2 2 ” 是 “ ()6k k Z ” 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分
2、条件 C 充分 必要条件 D 既不充分也不必要条件 3复数52 1iz i 在复平面内对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的 体积是 A 83 B 8 C 203 D 6 5 若随机变量 满足 (1 ) 4E ， (1 ) 4D ，则下列说法 正确的是 A 4, 4ED B. 3, 3ED C 4, 4ED D 3, 4ED 高三 数学 第 2 页 共 9 页 6. 已知实数 x， y 满足 121yyxx y m，如果目标函数 z x y 的最小值为 1 ，则实数 m A 7 B 5 C 4 D 1 7二项式31
3、( 3 )nx x的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大 ，则展开式 中有理项的个数为 A 7 B 5 C 4 D 3 8 已知 1F 、 2F 分别是双曲线 2222 1( , 0 )yx abab 的左、右焦点，以 12FF 为直径的圆交渐近线 ay bx 于点 P （ P 在第一象限）， 1PF 交双曲线左支于 Q ， 若 Q 是线段 1PF 的 中点，则该双曲线的离心率为 A. 3 B. 5 C 51 D. 51 9 设函数 2( ) m i n | 2 |, , | 2 |f x x x x ，其中 min , , y z 表示 ,xyz 中的最小者 下列说法错误的是 A函数 (
4、)fx为偶函数 B 若 1, )x 时，有 ( 2) ( )f x f x C 若 xR 时， ( ( ) ( )f f x f x D 若 4,4x 时， | ( ) 2 | ( )f x f x 10 点 P 为棱长是 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 11BC的中点，若满足 DP BM ，则 1BP与面 CDP 所成角的正切值 的最小值是 A 16 B 55C 14 25 D 147 第卷（非选择题共 110 分） 高三 数学 第 3 页 共 9 页 二、填空题：本大题 共 7 小题， 多空题 每小题 6 分， 单空题每小题 4
5、 分， 共 36 分。 11. 设直线 1 : ( 1 ) 3 2 0l a x y a ， 直线 2 : 2 ( 2 ) +1 0l x a y .若 12ll ，则实数 a的值为 ， 若 1l 2l ，则实数 a 的值为 12 已知 函数 22( ) c o s s in ( )6f x x x ，则 ()6f ， 该函数的最小正周期为 13 已知等比数列 na 的前 n 项和 3nnSr，则 3ar ，数列 2( 4)( )3 nnn的最大项是第 k 项，则 =k . 14. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门学科中任选 3 门 若甲同学 物理 、 化学至少选一门， 则甲
6、的不同的选法种数为 ， 乙、丙 两名同学 都不选 物理的概率 是 . 15 已知 ABC 的外接圆圆心为 O ，且 60A ，若 ,A O A B A C R ，则 的最大值为 . 16 若 实数 ,xyz 满足 2 2 22 3 1 , 4 9 1x y z x y z ，则 z 的最小值 是 _ _. 17 设函数 1 11( ) 4a x axfx 有两个零点，则实数 a 的值是 . 三、解答题：本大题 共 5 小题，共 74 分 . 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18（本题满分 15 分） 在 ABC 中，角 ,ABC 所对边长分别为 ,abc， 3( cos )c a
7、 B 3 sinbA. （） 求角 A ； （） 若 31si n cos 4BC ， 求角 C 来 高三 数学 第 4 页 共 9 页 19（本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 A BCD 中， ABD 、 BCD 均为正三角形，且 二面角 A BD C为 120 . ( ) 求证： AC BD ； ( ) 求二面角 B AD C的余弦值 . 20（本题满分 15 分） 设 3x 是 函数 23( ) ( ) ( )xf x x a x b e x R 的一个极值点 . （ ） 求 a 与 b 之间的关系式，并求 当 2a 时，函数 ()fx的单调区间 ： （ ） 设 0a ， 2 25(
8、 ) ( )4 xg x a e .若存在 12, 0,4xx 使得 12( ) ( ) 1f x g x成立，求实数 a 的取值范围 . 21（本题满分 15分 ） 已知直线 :l y x m 与圆 222xy交于 ,AB两点 ， 若椭圆 2 2 12x y上有两个不同的 点 ,CD关于直线 l 对称 . （） 求实数 m 的取 值 范 围 ； （） 求 四边形 ABCD 的 面积的 取 值 范 围 . 22 （本题满分 15 分） 已知数列 na 中111 , s i n ( ) ( * )32nna a a n N . （） 证明： 101nnaa ； （ ） 设数列 na 的前 n 项
9、和为 nS ，证明： 103nSn 高三 数学 第 5 页 共 9 页 2017 学年第二 学期高 三第二次 教学质量调测 数学参考答案 （ 2018.5） 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分。 1-10 BBCAD BACDC 二、填空题： 多空题 每小题 6 分， 单空题每小题 4 分， 共 36 分 。 11 85 , 4 ； 12 0, ； 13 19 , 4 ； 14 25 , 1649 ； 15 23 ； 16 19 ； 17 17, ,422 三、解答题： 本大题 共 5 小题，共 74 分 ,解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18（本题满分 15 分） （）
10、由 3 ( c o s ) 3 s in .c a B b A 得 3 ( s i n s i n c o s ) 3 s i n s i n .C A B B A ， 2 分 得 : 3 ( s i n ( ) s i n c o s ) 3 s i n s i n .A B A B B A , 4 分 得 : 3 c o s s in 3 s in s in .A B B A 得 tan 3A 6 分 所以 ， 3A 7 分 （） 2 2 3 1, s in ( ) c o s3 3 4A C C C ， 23 1 3 1c o s sin c o s2 2 4C C C , 9 分 3
11、1 3 1(1 c o s 2 ) sin 24 4 4CC ， 11 分 即 3 1 1c o s 2 sin 24 4 4CC 1sin (2 ) ,32C 13 分5 7 52 , 23 3 3 3 6 1 2C C C 又 15 分 高三 数学 第 6 页 共 9 页 19 (本题满分 14 分 ) 解：（） 设 BD 的中点为 O ，则由 ABD 、 BCD 均为正三角形 分别可得： ,OA BD CO BD， 4 分 BD 面 AOC ，于是 AC BD ； 6 分 （） 设 ABD 、 BCD 的边长均为 2a ，则3AO CO a，由 二面角 A BD C为 120 可知3AC
12、 a . 8 分 过点 B 作 BE AD ，垂足为 E ，显然 3BE a ；过点 E 作 EH AD ，显然 43AH a ， 73EH a ，连 OH ，则 BEH 就是所求的 二面角 B AD C的 平面角 . 10 分 在等腰 ACD 中，计 算得 73EH a ， 43DH BH. 12 分 于是在 BEH 中，由余弦定理计算得到 217BEH. 14 分 说明：此题也可以建立空间坐标系来解 另解：以点 O 为原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴，建立如图坐标系 . 8 分 设 ABD 、 BCD 的边长均为 2a ， 则点 (0,0,0)O ， 33( , 0, )22A
13、 a a ， (0, ,0)Ba ，(0, ,0)Da， 于是分别 计算得：平面 ABD 的法向量为 1 ( 3,0,1)n ， 10 分 平面 ACD 的法向量为 2 (1, 3 3)n ， 12 分 所以 121221c o s 7nnnn ，即 二面角 B AD C的余弦值为 217 . 14 分 20（本题满分 15 分） （） 2 3( ) ( ( 2 ) ) xf x x a x b a e ， 2 分 高三 数学 第 7 页 共 9 页 由题意知 (3) 0f ，解得 23ba . 4 分 当 2a ，则 7b ，故令 2 3( ) ( 9 ) 0xf x x e 得： 33 ，
14、于是 ()fx 在( 3,3) 上单调递增，在 ( , 3) 和 (3, ) 单调递减 . 7 分 （） 由（）得： 2 3( ) ( ( 2 ) 3 3 ) xf x x a x a e ，令 ( ) 0fx 得： 13ax （ 0a ）， 9 分 所以 ()fx在 (0,3) 上单调递增，在 (3,4 单调递减，于是 m a x ( ) (3 ) 6f x f a ， 3m in ( ) m in ( 0 ) , ( 4 ) ( 2 3 )f x f f a e ； 11 分 另一方面 ()gx 在 0,4 上单调递增， 2 2 42 5 2 5( ) , ( ) 44g x a a e
15、. 13 分 根据题意，只要 2 25( ) ( 6 ) 14aa ，解得 1322a ，所以 3(0, )2a . 15 分 21（本题满分 15分） （） 设直线 CD ： y x n ，联立 2222xy，得223 4 2 ( 1) 0x nx n . 1分 设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y， CD 中点为 00( , ),M x y 故 221 6 2 4 ( 1) 0nn 得： 33n ，且21 2 1 24 2 ( 1 ),33nnx x x x 得002 ,33nnxy 4分代入 ,y x m 得 ,3nm 33m ； 6 分 （ ） 由（ ）得
16、2 2212 2 4 8 4 4| | 1 1 | | 2 3 3 9 ,3 3 3nC D x x n m 8 分 高三 数学 第 8 页 共 9 页 点 O 到直线 AB 的距离为 |2md， 2| | 2 22mAB ， 10 分 于是 1 | | |2ACBDS AB CD2 2 2 2 4 24 2 6 2 62 3 9 ( 4 ) ( 1 3 ) 3 1 3 43 2 3 3m m m m m m . 13 分 2 10 3m， 46(0, 3ACBDS . 15 分 22（本题满分 15 分） 解：（ ） 数学归纳法： 当 1n 时，1 13a，2 12a，显然有1201aa .
17、 假 设 当 ()n k k N ，结论成立，即 101kkaa ，那么10 2 2 2kkaa ，10 s i n ( ) s i n ( ) 122kkaa ，即 1201kkaa ，综上所述 101nnaa 成立 . 7 分 （ ）由（ ）知 ： 1 13na， 201 3na ，即 0 (1 )46na ，也即10 s i n ( 1 ) s i n4 6 2na ； 9 分 111 1 s i n ( ) 1 c o s ( ( 1 ) )22n n na a a 2 112 s i n (1 ) s i n (1 ) 44nnaa 1(1 )4 na . 12 分 于是： 1111 21 ( 1 ) ( 1 )4 4 4 3nnnna a a 得 : 高三 数学 第 9 页 共 9 页 2 2 2 2( 1 ( ) )103 4 3 3 33 . 2 1 31 1 14 4 4 5nnnS ，故 103nSn 15 分
