1、 1 / 7高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk124 3512nk例 2.(1)求证: )(167)1(5322 nn(2)求证: 461422 / 7(3)求证: 12642)1(53164231 n(4) 求证： )(3)(nn例 3.求证: 351941)2(62例 4.(2008 年全国一卷) 设函数 .数列 满足 . .设 ，整数 .()lnfxna10()naf1()ba， 1lnabk证明: .1kab例 5.已知 ,求证: .mmnSxNmn 321, 1)()1(1 mnS例 6.已知 , ,求证: .nna24na
2、T21 23321nTT例 7.已知 , ,求证: 1x),(Zkn *)(1(14245432 Nnxxn 二、函数放缩 例 8.求证： .)(63ln4l32l *Nn例 9.求证:(1) )2()12llnl, 例 10.求证: nn1)l(1321 例 11.求证: 和 .e)!()!( en)31()81(92例 12.求证: 3)1()321()( n3 / 7例 14. 已知 证明 .1121,().nnaa2nae例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若.l)(xf ).(2ln)(:,0bfafbafb证 明三、分式放缩例 19. 姐妹不等式: 和 也可以表示成为12
3、)1()53)(1n 12)(61)4(n和2)(531642n 64例 20.证明: .13)21()71(4)( n四、分类放缩 例 21.求证: 3n例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 ，若 的定义域为1，0，值域也为),1()(2Rcbxf )(xf1，0.若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对于任nb)(*3NnfnnnT意正整数 都有 ？并证明你的结论。ATn例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,设 内整数坐标点的个数为 .设nxy3,0nDna,当 时,求证: . nnnaS21 61712321aan
4、五、迭代放缩例 25. 已知 ,求证:当 时,1,41xxn2nnniix112|4 / 7例 26. 设 ,求证:对任意的正整数 k,若 k n 恒有:| Sn+k Sn|0,b0,求证： .12nba例 47.设 ，求证 .Nn,1)(18)32(nn例 49. 已知函数 fx的定义域为0,1，且满足下列条件： 对于任意 0,1，总有 ，且 ；x3fx14f 若 则有12120,x1212()3.fxfxf6 / 7（）求 f0的值；（）求证： fx4；（）当 时，试证明： .1(,(,23)3nx ()3fx例 50. 已知： 求证：121,0niaa )2,1(ni22221131nn
5、aa十二、部分放缩(尾式放缩)例 55.求证: 7412313n例 56. 设 求证：an2.,an .2n例 57.设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ；naNan121 31a,1n2)(nai1)(2ni1、添加或舍弃一些正项（或负项）例 1、已知 求证：*21().naN*1231.().2naanN2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f（ x）= ，求证： f（1）+ f（2）+ f（ n） n+ .x41 )(21*Nn3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例 3、已知 an=n ，求证： 3n k=14、放大或缩小“因式” ；例 4、已知数列 满足 求证：na211,
6、0,na121().3nkka7 / 75、逐项放大或缩小例 5、设 求证：)1(4321nan 2)1(2)1(nan6、固定一部分项，放缩另外的项；例 6、求证： 22217134n7、利用基本不等式放缩例 7、已知 ，证明：不等式 对任何正整数 都成立.54na51mnnamn，构造函数法证明不等式的方法一、 移项法构造函数【例 1】已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x xx)1ln(2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下.l2)(xxf ),()(f 32)(xg方；3、换元法构造函数证明【例 3】 （2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立.321)1l(n4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立，且常数 a， b 满足 ab，求证： a)(xf )(f)(xfb)(af
