1、1椭圆的标准方程和几何性质练习题一1. 若曲线 ax2by 21 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a，b 满足( )Aa 2b2 B. 0，所以 0b0)。由点 P(2, )在椭圆上知 =1。又2ab323ab|PF1|，|F 1F2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF2|=2|F1F2|，即 2a=22c，又 c2=a2-b2，联立得1,aa2=8，b 2=63. 已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 y 21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦x23点在 BC 边上，则ABC 的周长是 ( )A2 B6 C4 D123 3答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为
2、F，则 ABC 的周长为|AB| AC|BC| (|AB |BF|)(|AC |CF|)4a4 。 34. 已知椭圆 x2my 21 的离心率 e ，则实数 m 的取值范围是( )(12，1)A. B. C. D. (0，34) (43， ) (0，34) (43， ) (34，1) (1，43)答案：C 在椭圆 x2my 21 中，当 0m 1 时，a 2 ，b 21，c 2a 2b 2 1，1m 1m2e2 1m，c2a21m 11m又 e1， 1m1，解得 0m ，当 m1 时， a21，b 2 ，c 21 ，12 14 34 1m 1me2 1 ，又 e1， 1 1，解得 m ，c2a
3、2 1 1m1 1m 12 14 1m 43综上可知实数 m 的取值范围是 。(0，34) (43， )5. 已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169，C 2:(x+4)2+y2=9，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( )A. B. C. D. 4862yx164826482yx 14862yx答案：D 设圆 M 的半径为 r，则|MC 1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆，且 2a=16，2c=8 ，故所求的轨迹方程为 + =12x64y86. 椭圆 (ab0)的左、右焦
4、点分别为 F1，F 2， P 是椭圆上的一点， ，且2byx caxl2:PQl，垂足为 Q，若四边形 PQF1F2 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A. ( ,1) B. (0, ) C. (0, ) D. ( ,1)1222答案：A 设点 P(x1,y1)，由于 PQl,故|PQ|=x 1+ ，因为四边形 PQF1F2 为平行四边形，所以ac|PQ|=|F1F2|=2c，即 x1+ =2c，则有 x1=2c- -a，所以 2c2+ac-a20，即 2e2+e-10，解得 e ，由于 0b0)的左右焦点分别为 F1，F 2，若椭圆 C 上恰有 8 个不同的点 P，12byx使
5、得F 1F2P 为直角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( )A.(0, ) B.(0, C.( ,1) D. ,1)222答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直，所以|OP|=cb， 即 c2a2-c2，所以 a2 C. tb0)上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 AFBF，设12yxABF ，且 ，则该椭圆离心率的取值范围为( )12，4A. B. C. D. 22，63 22，32 63，1) 22，1)答案：A 由题知 AFBF，根据椭圆的对称性， AFBF(其中 F是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF是矩形
6、，于是 |AB|FF|2c，| AF|2c sin，根据椭圆的定义，|AF| AF|2a，2c sin2ccos2a，e ，而 ，ca 1sin cos 12sin( 4) 12，45 ，sin ，故 e4 3，2 ( 4) 32，1 22，6314. 直线 与椭圆 C： (ab0)交于 A，B 两点,以线段 AB 为直径的圆恰好经过xy2byx椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为 ( )A. B. C. -1 D.4-23231233答案：C 设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由 y=- x 得AOF 2= ，AOF 1= 。
7、所以|AF 2|= c，|AF 1|=c.333由椭圆定义知,|AF 1|+|AF2|=2a，所以 c+ c=2a，所以 e= = -1.ca15. 已知椭圆的焦点在 x 轴上，一个顶点为 A(0，1)，其右焦点到直线 xy2 0 的距离为23，则椭圆的方程为 答案： 据题意可知椭圆方程是标准方程，故 b1.设右焦点为(c,0)( c0)，它到已知12yx直线的距离为 3，解得 c ，所以 a2b 2c 2 3，故椭圆的方程为 y 21.|c 22|2 2 x2316. 设 F1，F 2 分别是椭圆 =1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，2xy516|OM|=3，则 P
8、 点到椭圆左焦点的距离为 答案：4 由题意知|OM|= |PF2|=3，所以|PF 2|=6，所以|PF 1|=2a-|PF2|=10-6=417. 分别过椭圆 (ab0)的左、右焦点 F1，F 2 所作的两条互相垂直的直线 l1，l 2 的交点12byx在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是 答案：(0, ) 由已知得交点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2 上。 又点 P 在椭圆内部，所以26有 c2b0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接12byxAF，BF。若|AB|=10，|BF|=8 ，cosABF= ，则 C 的离心率为 45答案：如
9、图，设|AF|=x，则 cosABF=5722810x4.5解得 x=6(负值舍去)，所以 AFB=90,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8，且FAF 1=FAB+FBA=90， FAF1 是直角三角形，所以|F1F|=10，故 2a=8+6=14，2c=10 ，所以 c5.a722. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别是椭圆 (ab0)的左、右焦点，顶点12byxB 的坐标为(0 ， b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接F1C.（1）若点 C 的坐标为 ，且|BF 2|= ，求椭圆 的方程41(,)3（2）
10、若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值8【解析】(1)由题意 F2(c,0)，B(0,b)，|BF 2|= 2bca,又 C ，所以 =1，解得 b=1，所以椭圆方程为 +y2=1.41(,)3241()3bx(2)直线 BF2 方程为 =1，与椭圆方程 =1 联立方程组，解得 A 点坐标为xyc2xyab则 C 点的坐标为322acb(,),232c(,),又 F1(-c,0)， =又 kAB=- ，由 F1CAB，得 (- )=-1,3322bac,acbc32bac即 b4=3a2c2+c4， 所以(a 2-c2)2=3a2c2+c4，化简得 e= 5.a23. 已知椭圆 C：x 22y
11、 24.（1）求椭圆 C 的离心率（2）设 O 为原点. 若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值解析：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1。所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22。x24 y22因此 a2，c .故椭圆 C 的离心率 e 。2ca 22(2)设点 A，B 的坐标分别为(t, 2)，( x0，y 0)，其中 x00。因为 OAOB，所以 0，即 tx02y 00，解得 t 。OA OB 2y0x0又 x 2y 4，所以|AB| 2(x 0t )2(y 02) 2 2(y 02) 2x y 420 20 (x0 2y0x0) 20 20 4y20x20x 4 4(0 x 4)。204 x202 24 x20x20 x202 8x20 209因为 4(0x 4)，且当 x 4 时等号成立，x202 8x20 20 20所以|AB| 28。故线段 AB 长度的最小值为 2 。2
