1、* 1凸体几何中的极值 问 题冷 岗 松 上海大学数学系 2006. 04. 07* 2最 主 要 的， 我 要 跟 大 家 说 的 是 立 体 几 何 在 数 学 中 是 很 重 要 而 困 难 的 部 分。 即 使 平 面 几 何 也 可 能 很 难。 到 了 立 体 时， 则 更 为 复 杂。 近 年来 对 碳 60 (C60) 的 研 究 显 示了 几 何 在 化 学 中 的应 用。 多 面 体 图 形 的 几 何 性 质 对 固 态 物 理 也 有 重 大 的 作 用。球装不 过 是 立 体 几 何 的 一 个 问 题。 立 体 几 何 是 大 有 前 途 的。 陈省身在 庆 祝 自
2、 然 科 学 基 金 制 设 立 15 周 年 和 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 成 立 10 周 年 之 际， 以 中 国 的 数 学 为 题 发 表的讲 演 .* 3一一 . 学科介绍学科介绍 : 凸体的 Brunn-Minkowski 理论 . Lutwak的对偶 Brunn-Minkowski理论 . Lp- Brunn-Minkowski理论 . 几何断层学 (Geometric Tomography).* 4凸体的凸体的 Brunn-Minkowski 理论理论 凸体： 中有非空内点的紧致凸集 . 凸体的支撑函数：设 K是 中的一个凸体那么它的支撑函数 定义为 凸体的
3、 Minkowski和： 设 K， L是 中的凸体* 5混合体积混合体积 (Mixed volume) Minkowski定理：设 为 中的凸体， 设 K， L是 中的凸体，那么* 6Steiner 对称 亮度函数(brightness function) Steiner 对称与亮度函数 * 7投影体投影体 (Projection Bodies)* 8Aleksandrov 投影定理投影定理对于原点对称的两个凸体 K 和 L,Cauchy投影公式K的表面积测度* 9Shephard问题问题 Shephard (1964)问 :对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有 Petty 和 Schneider (1967)分别给出了否定的回答，并证明了当 L为投影体或 时结论成立 .* 10Shephard问题的一个反例问题的一个反例 Petty 和 Schneider (1967)给出的一个反例 .反例
