1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1.复数 i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i解析：原式=2i-i 2=2i-(-1)=1+2i；故选：A.2.若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.D.2解析：作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由 ，解得 A( ， )，目标函数 z=x+2y，将直线 z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值z 最大值 = =故选：C.3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A.
2、(-2，2)B.(-4，0)C.(-4，-4)D.(0，-8)解析：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件 k3，s=-2，i=2，x=-2，y=2，k=2不满足条件 k3，s=-4，i=0，x=-4，y=0，k=3满足条件 k3，退出循环，输出(-4，0)，故选：B.4.设，是两个不同的平面，m是直线且m ， “m“是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分不要条件D.既不充分也不必要条件解析：m ，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m ，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分
3、条件.故选 B.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2+B.4+C.2+2D.5解析：根据三视图可判断直观图为：OA面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，可得 AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面 AEO，AC= ，OE=S ABC = 22=2，S OAC =SOAB = 1= .SBCO = 2 = .故该三棱锥的表面积是 2 ，故选：C.6.设a n是等差数列，下列结论中正确的是( )A.若 a1+a20，则 a2+a30B.若 a1+a30，则 a1+a20，C.若 0a 1a 2，则 a2D.若 a10，
4、则(a 2-a1)(a2-a3)0解析：若 a1+a20，则 2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a20，则 2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B 不正确；an是等差数列，0a 1a 2，2a 2=a1+a32，a 2 ，即 C 正确；若 a10，则(a 2-a1)(a2-a3)=-d20，即 D 不正确.故选：C.7.如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log 2(x+1)的解集是( )A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2解析：由已知 f(x)的图象
5、，在此坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象，如图满足不等式 f(x)log 2(x+1)的 x 范围是-1x1；所以不等式 f(x)log 2(x+1)的解集是x|-1x1；故选 C.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：对于选项 A，消
6、耗 1 升汽油，乙车行驶的距离比 5 小的很多，故 A 错误；对于选项 B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B 错误，对于选项 C，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效率为 10，故消耗 8 升汽油，故 C 错误，对于选项 D，因为在速度低于 80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D 正确.二、填空题(每小题 5 分，共 30 分)9.在(2+x) 5的展开式中，x 3的系数为_(用数字作答)解析：(2+x) 5的展开式的通项公式为：T r+1= 25-rxr，所求 x3的系数为： .故答案为：40.10.已知双曲线 -
7、y2=1(a0)的一条渐近线为 x+y=0，则 a=_.解析：运用双曲线的渐近线方程为 ，结合条件可得 ，即可得到 a 的值.答案：双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 ，由题意可得 ，解得 .11.在极坐标系中，点(2， )到直线 (cos+ sin)=6 的距离为_.解析：点 P(2， )化为 P .直线 (cos+ sin)=6 化为 .点 P 到直线的距离 .故答案为：1.12.在ABC 中，a=4，b=5，c=6，则 =_.解析：ABC 中，a=4，b=5，c=6，cosC= ，cosA=sinC= ，sinA= ， .故答案为：1.13.在ABC 中，点 M，N 满足 =2 ， =
8、，若 =x +y ，则 x=_，y=_.解析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 表示，然后利用平面向量基本定理得到 x，y 值.答案：由已知得到 ；由平面向量基本定理，得到 ， ；14.设函数 f(x)= ，若 a=1，则 f(x)的最小值为_；若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析：分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设 h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)(x-2a)，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围.答案：当 a=1 时，f(x)= ，当 x1 时，f(x)=2 x-1 为增函数，f(x)-1，当 x1 时，f(x)=4(x-1)
9、(x-2)=4(x 2-3x+2)=4(x- )2-1，当 1x 时，函数单调递减，当 x 时，函数单调递增，故当 x= 时，f(x) min=f( )=-1，设 h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)(x-2a)若在 x1 时，h(x)=与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x=1 时，h(1)=2-a0，所以 0a2，而函数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 a1，若函数 h(x)=2x-a 在 x1 时，与 x 轴没有交点，则函数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点，当 a0 时，h(x)与 x 轴无交点，g(x)无交点，所以不
10、满足题意(舍去)，当 h(1)=2-a时，即 a2 时，g(x)的两个交点为 x1=a，x 2=2a，都是满足题意的，综上所述 a 的取值范围是 a1，或 a2.三、解答题(共 6 小题，共 80 分)15.已知函数 f(x)= sin cos - sin .(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间-，0上的最小值.解析：(1)运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 f(x)，再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；(2)由 x 的范围，可得 x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值.答案：(1)f(x)= sin cos - sin= sinx- (1-cosx)=
11、sinxcos +cosxsin -=sin(x+ )- ，则 f(x)的最小正周期为 2；(2)由-x0，可得- x+ ，即有 ，则当 x=- 时，sin(x+ )取得最小值-1，则有 f(x)在区间-，0上的最小值为-1- .16. A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于 14 天的概率；(2)如果 a=25，求甲的康复时间
12、比乙的康复时间长的概率；(3)当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解析：设事件 Ai为“甲是 A 组的第 i 个人” ，事件 Bi为“乙是 B 组的第 i 个人” ，由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ，i=1，2，7(1)事件等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人” ，由概率公式可得；(2)设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6，易得 P(C)=10P(A4B1)，易得答案；(3)由方差的公式可得.答案：设事件 Ai为“甲是 A 组的第
13、i 个人” ，事件 Bi为“乙是 B 组的第 i 个人” ，由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ，i=1，2，7(1)事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人”甲的康复时间不少于 14 天的概率 P(A5A 6A 7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= ；(2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长” ，则 C=A4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6，P(C)=P(A 4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)P+(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+
14、P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=(3)当 a 为 11 或 18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等.17.如图，在四棱锥 A-EFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O 为 EF 的中点.(1)求证：AOBE.(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a 的值.解析：(1)根据线面垂直的性质定理即可证明 AOBE.(2)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 F-AE-B 的余弦值；(3)利用线面垂直的性质，结合向量法即可
15、求 a 的值答案：(1)AEF 为等边三角形，O 为 EF 的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO 平面AEF，AO平面 EFCBAOBE.(2)取 BC 的中点 G，连接 OG，EFCB 是等腰梯形，OGEF，由(1)知 AO平面 EFCB，OG 平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则 E(a，0，0)，A(0，0， a)，B(2， ，0)，=(a-2， ，0)，设平面 AEB 的法向量为 =(x，y，z)，则 ，即 ，令 z=1，则 x= ，y=-1，即 =( ，-1，1)，平面 AEF 的法向量为 ，则即二面角 F-AE-B 的余弦值为 ；(3)若 BE平面 AOC，则
16、 BEOC，即 ， ， ， =-2(a-2)-3(a-2)2=0，解得 a= .18.已知函数 ，(1)求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证，当 x(0，1)时， ；(3)设实数 k 使得 对 x(0，1)恒成立，求 k 的最大值.解析：(1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.(2)构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.(3)对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k 的取值范围.答案：(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)所以又因为 f(0)=0，所以曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y=2x.(2)证明：令 g(x)=f(x)-2(x+ )，则g(x)=f(x)-2(1+x2)= ，
