1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（5 分） （2015广东）若集合 M=x|（x+4） （x+1）=0，N=x|（x4） （x1）=0，则MN=（ ）A.1，4B.1，4C.0D.解析：集合 M=x|（x+4） （x+1）=0=1，4，N=x|（x4） （x1）=0=1，4，则 MN=.答案：D2.（5 分） （2015广东）若复数 z=i（32i） （i 是虚数单位） ，则 =（ ）A.23iB.2+3iC.3+2iD.32i解析：复数 z=i（3
2、2i）=2+3i，则 =23i，答案：A3.（5 分） （2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+ex解析：对于 A，y= 是偶函数，所以 A 不正确；对于 B，y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确；对于 C，y=2 x+ 是奇函数，所以 C 不正确；对于 D，不满足 f（x）=f（x）也不满足 f（x）=f（x） ，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确.答案：D4.（5 分） （2015广东）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中
3、恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）A.B.C.D.1解析：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ；基本事件总数为 105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A；则 A 包含的基本事件个数为 =50；P（A）= .答案：B5.（5 分） （2015广东）平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是（ ）A.2x+y+5=0 或 2x+y5=0B.2x+y+ =0 或 2x+y =0C.2xy+5=0 或 2xy5=0D.2xy+ =0 或 2xy =0解析：设所求直线方程为 2x+y+b=0，则，所以 = ，所以
4、b=5，所以所求直线方程为：2xy+5=0 或 2x+y5=0.答案：A6.（5 分） （2015广东）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最小值为（ ）A.4B.C.6D.解析：不等式组 对应的平面区域如图：由 z=3x+2y 得 y= x+ ，平移直线y= x+ ，则由图象可知当直线 y= x+ ，经过点 A 时直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 A（1， ） ，此时 z=31+2 = .答案：B7.（5 分） （2015广东）已知双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为F2（5，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ）A. =1B. =
5、1C. =1D. =1解析：双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为 F2（5，0） ，可得： ，c=5，a=4，b= =3，所求双曲线方程为： =1.答案：C8.（5 分） （2015广东）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ）A.至多等于 3B.至多等于 4C.等于 5D.大于 5解析：考虑平面上，3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于 4，也不成立；在空间中，4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若 n4，由于任三点不共线，当 n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第
6、五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理 n5，不成立.答案：B二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.） （一）必做题（1113 题）9.（5 分） （2015广东）在（ 1） 4的展开式中，x 的系数为 6 .解析：二项式（ 1） 4的展开式的通项公式为 Tr+1= （1） r ，令 2 =1，求得 r=2，二项式（ 1） 4的展开式中 x 的系数为 =6，答案：610.（5 分） （2015广东）在等差数列a n中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25，则 a2+a8= 10 .解析：由
7、a3+a4+a5+a6+a7=（a 3+a7）+（a 4+a6）+a 5=5a5=25，得到 a5=5，则 a2+a8=2a5=10.答案：1011.（5 分） （2015广东）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a= ，sinB=，C= ，则 b= 1 .解析：sinB= ，B= 或 B=当 B= 时，a= ，C= ，A= ，由正弦定理可得，则 b=1当 B= 时，C= ，与三角形的内角和为 矛盾答案：112.（5 分） （2015广东）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言.（用数字作答）解析：某高三毕
8、业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 =4039=1560 条.答案：156013.（5 分） （2015广东）已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则 P= .解析：随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，可得 np=30，npq=20，q= ，则 p= ，答案：14.（5 分） （2015广东）已知直线 l 的极坐标方程为 2sin（ ）= ，点 A 的极坐标为 A（2 ， ） ，则点 A 到直线 l 的距离为 .解析：直线 l 的极坐标方程为 2sin（ ）= ，对应
9、的直角坐标方程为：yx=1，点 A 的极坐标为 A（2 ， ） ，它的直角坐标为（2，2）.点 A 到直线 l 的距离为： = .答案：15.（2015广东）如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切点为 C，BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于 D 和点 P，则 OD= 8 .解析：连接 OC，则 OCCD，AB 是圆 O 的直径，BCAC，OPBC，OPAC，OP= BC= ，RtOCD 中，由射影定理可得 OC2=OPOD，4= OD，OD=8.答案：8三、解答题16.（12 分） （2015广东）在平面直角坐标系 xOy 中
10、，已知向量 =（ ， ） ，=（sinx，cosx） ，x（0， ）.(1)若 ，求 tanx 的值；(2)若 与 的夹角为 ，求 x 的值.答案：(1)若 ，则 =（ ， ）（sinx，cosx）= sinx cosx=0，即 sinx= cosxsinx=cosx，即 tanx=1；(2)| |=1，| |=1， =（ ， ）（sinx，cosx）= sinx cosx，若 与 的夹角为 ，则 =| | |cos = ，即 sinx cosx= ，则 sin（x ）= ，x（0， ）.x （ ， ）.则 x =即 x= + = .17.（12 分） （2015广东）某工厂 36 名工人年龄
11、数据如图：工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939(1)用分层抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值 和方差 s2；(3)36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0
12、.01%）？解析：(1)利用分层抽样的定义进行求解即可；(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值 和方差 s2；(3)求出样本和方差即可得到结论.答案：(1)由分层抽样知，36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为 2，所有样本数据的编号为：4n2， （n=1，2，9） ，其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由平均值公式得 = （44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40.由方差公式得 s2= （4440） 2+（4040） 2+（3740） 2= .(3)s 2= .s= （3，4） ，36 名
13、工人中年龄在 s 和 +s 之间的人数等于区间37，43的人数，即 40，40，41，39，共 23 人.36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间所占百分比为 63.89%.18.（14 分） （2015广东）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点 E 是 CD 的中点，点 F、G 分别在线段 AB、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角 PADC 的正切值；(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.解析：(1)通过POC 为等腰三角形可得 PECD，利用线面垂直判定定理及性质定理即
14、得结论；(2)通过(1)及面面垂直定理可得 PGAD，则PDC 为二面角 PADC 的平面角，利用勾股定理即得结论；(3)连结 AC，利用勾股定理及已知条件可得 FGAC，在PAC 中，利用余弦定理即得直线PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角PAC 的余弦值.答案：(1)证明：在POC 中 PO=PC 且 E 为 CD 中点，PECD，又平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD=CD，PE平面 PCD，PE平面 ABCD，又FG平面 ABCD，PEFG；(2)由(1)知 PE平面 ABCD，PEAD，又CDAD 且 PECD=E，AD平面 PDC，又PD
15、平面 PDC，ADPD，又ADCD，PDC 为二面角 PADC 的平面角，在 RtPDE 中，由勾股定理可得：PE= = = ，tanPDC= = ；(3)连结 AC，则 AC= =3 ，在 RtADP 中，AP= = =5，AF=2FB，CG=2GB，FGAC，直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角PAC，在PAC 中，由余弦定理得cosPAC= .19.（14 分） （2015广东）设 a1，函数 f（x）=（1+x 2）e xa.(1)求 f（x）的单调区间；(2)证明 f（x）在（，+）上仅有一个零点；(3)若曲线 y=f（x）在点 P 处的切线与 x 轴
16、平行，且在点 M（m，n）处的切线与直线 OP 平行， （O 是坐标原点） ，证明：m 1.解析：(1)利用 f（x）0，求出函数单调增区间.(2)证明只有 1 个零点，需要说明两个方面：函数单调；函数有零点.(3)利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂.答案：(1)f（x）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1） 2f（x）0，f（x）=（1+x 2）e xa 在（，+）上为增函数.(2)证明：由(1)问可知函数在（，+）上为增函数.又 f（0）=1a，a1.1a05 分f（0）0.当 x+时，f（x）0 成立.f（x）在（，+）上有且只有一个零点(3)证明：f（x）=e x（x+1
17、） 2，设点 P（x 0，y 0）则）f（x）=e x0（x 0+1） 2，y=f（x）在点 P 处的切线与 x 轴平行，f（x 0）=0，即：e x0（x 0+1） 2=0，x 0=1将 x0=1 代入 y=f（x）得 y0= . ，令；g（m）=e m（m+1）g（m）=e m（m+1） ，则 g（m）=em1，由 g（m）=0 得 m=0.当 m（0，+）时，g（m）0当 m（，0）时，g（m）0g（m）的最小值为 g（0）=0g（m）=e m（m+1）0e mm+1e m（m+1） 2（m+1） 3即：m20.（14 分） （2015广东）已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x 2+y
18、26x+5=0 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，说明理由.解析：(1)通过将圆 C1的一般式方程化为标准方程即得结论；(2)设当直线 l 的方程为 y=kx，通过联立直线 l 与圆 C1的方程，利用根的判别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；(3)通过联立直线 L 与圆 C1的方程，利用根的判别式=0 及轨迹 C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论.答案：(1)圆 C1：x 2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3） 2+y2=4，圆 C1的圆心坐标为（3，0） ；(2)设当直线 l 的方程为 y=kx、A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，
