1、第 8 节 机械能守恒定律理解领悟机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的具体体现，是能量守恒的特殊形式，机械能守恒定律是中学物理教学中的重点。要理解机械能守恒定律的内容与适用条件，会应用机械能守恒定律解决实际问题。基础级1. 动能与势能的相互转化教材开头的“做一做”栏目提供了这样的小实验：将小球用细线悬挂起来后在竖直平面内来回摆动，用直尺挡住细线，可以发现小球仍能摆到原先的高度。这个小实验表明，在只有重力做功的情况下，小球在运动过程中发生动能与重力势能的相互转化，而机械能的总量则保持不变。在现实生活中，动能与势能相互转化的例子是很多的。物体自由下落的运动，石子的竖直上抛、平抛或斜
2、抛运动，物体沿光滑斜面或曲面的运动，压缩后的弹簧将物体弹出等过程中，都存在着动能与势能的相互转化。仔细分析动能与势能转化的实例，可以发现：在物体运动状态发生变化的过程中，势能增大（减少）的过程，就是动能减少（增大）的过程。势能的变化是由于重力或弹力做功引起的。如果重力或弹力作为外力，又可以改变物体的动能。如果重力或弹力做正功，重力势能或弹性势能减少，动能增加，意味着重力势能或弹性势能转化为动能；反之，如果重力或弹力做负功，重力势能或弹性势能增加，动能减少，意味着动能转化为重力势能或弹性势能。可见，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。2. 只有重力做功时系统的机械能只有重力
3、做功时，根据动能定理，有WG=Ek2 Ek1，根据重力做功与重力势能变化的关系，有WG=Ep1 Ep2，由以上两式可得 Ep1 Ep2=Ek2 Ek1，即 Ek2+ Ep2= Ek1+ Ep1。这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。3. 只有弹力做功时系统的机械能只有弹力做功时，根据动能定理，有WN=Ek2 Ek1，根据重力做功与重力势能变化的关系，有WN=Ep1 Ep2，由以上两式可得 Ep1 Ep2=Ek2 Ek1，即 Ek2+ Ep2= Ek1+ Ep1。这就是说，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不
4、变。4. 机械能守恒定律的内容及其表达式综上所述，在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。其数学表达式为Ek2+ Ep2+ Ep2= Ek1+ Ep1+ Ep1.若以 E1、 E2分别表示系统初、末状态的总的机械能，则机械能守恒定律可以更简洁地表示为 E2= E1。5. 对机械能守恒定律的深入理解对机械能守恒定律，可从以下几方面加深理解： 机械能守恒是能量守恒的特例 自然界存在各种不同形式的能量 机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。机械能包括动能和势能，势能包括重力势能和弹性势能。各种不同形式的能量可以相互转化，转化中总能量守
5、恒，机械能守恒只是能量守恒的一种特殊情况。 机械能守恒定律更为一般的叙述 一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其他内力和外力都不做功，那么系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 机械能守恒定律的研究对象 机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。例如：球从高处自由落下，碰到弹簧又弹起，以单个球为研究对象，无所谓机械能守恒。若以球和地
6、球为一系统，球在下落至碰到弹簧前，只有重力做功，系统机械能守恒；但碰到弹簧又弹起的过程中，弹簧的弹力是系统的外力，弹力做功是外力做功，系统的机械能就不守恒。如果选取球、弹簧与地球三者组成的系统来研究，则系统的机械能守恒。 机械能与其他形式的能的转化 机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。6. 判断机械能守恒的方法判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：1、做功条件分析法 应用系统机械能守
7、恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。2、 能量转化分析法 从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加） ，则系统的机械能守恒。3、 增减情况分析法 直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况
8、，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。7. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤及表达方式应用机械能守恒定律解题的一般步骤是： 选取系统对象，确定研究过程； 进行受力分析，考察守恒条件； 选取零势能平面，确定初、末态机械能； 运用守恒定律，列出方程求解。根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程： 从守恒的角度 系统的初、末两状态机械能守恒，即E2=E1； 从转化的角度 系统动能的增加等于势能的减少，即 Ek= Ep； 从转移的角度 系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即 EA= EB。8. 对“例题”的说明本节教材的例题已知小
9、球摆动的最大偏角，计算它的最大速度。该题以小球为研究对象，在小球从最高点摆到最低点的过程中，应用机械能守恒定律求解。在小球运动过程中，绳子的拉力在不断变化。该题的求解显示，一些难以用牛顿运动定律解决的问题，应用机械能守恒定律则易于解决。9. 对“思考与讨论”栏目问题的提示一个小球在真空中自由下落，另一个同样的小球在粘滞性较大的液体中由静止开始下落，下落高度相同，重力做的功相等，重力势能的变化相等，而动能的变化不等。前者减少的重力势能全部转化为动能，后者减少的重力势能一部分转化为动能，另一部分转化为内能。发展级10.关于机械能守恒定律的不同叙述关于机械能守恒定律的叙述，各书不尽相同。下面对几种不
10、同的叙述稍作说明： “如果没有摩擦力和介质的阻力，在任一物体的势能与动能相互转化的过程中，物体的总的机械能保持不变” 。 “在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能（重力势能、弹性势能）可以相互转化，而总的机械能保持不变” 。 “在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变” 。 “一个物体，如果只受到重力和弹力的作用，在发生动能和势能相互转化时，机械能的总量保持不变” 。比较上述四种叙述，可以看出，它们中间有以下一些主要问题：第一，两种叙述中，只讲力或力的作用，而没有提及力做功；第二，的叙述中，只讲没有什么力，而没讲有什么力；第三，的叙述中，只提“只有重
11、力做功”而未提及弹力做功，因而势能也只涉及重力势能而为涉及弹性势能。的叙述不够全面是很明显的，这里不再多述。下面就第一方面的问题作一分析。我们知道，一个物体的机械能是否发生变化的充要条件，不是力的作用，而是力对它做功。如果没有力对它做功，机械能的两种形式（动能和势能）是不可能发生相互转化的，它的机械能也不会发生变化。所以，如果只讲受力作用，而不讲做功，是不能正确反映机械能守恒定律的实质的。这里还应注意， “守恒”和“不变”是两个不同的概念。 “守恒”是指转化时的总量不变，而“不变”不仅指导下不变，还指形式也不变。例如，圆锥摆（让用细线拴住的小球在水平面内做匀速圆周运动，就成了圆锥摆）在运动过程
12、中，如果不计空气阻力，小球虽守重力、绳的拉力（弹力）作用，但这两个力都不做功，此时只能说其机械能“不变” ，而不能说机械能“守恒” 。由此可见，上面四种叙述中的说法是全面而正确的，这就是我们教科书中的说法。11. 动能定理、功能原理与机械能守恒定律教材中指出动能定理的内容是，合力所做的功等于物体动能的变化，这里所说的物体，实际上可以看作是质点。对于两个以上相互作用的物体所构成的系统（即质点系） ，要考虑怎样在各个质点上的所有的力做功的总和。我们可以把这个总和分为两部分：一部分是一切外力所做的功的和，另一部分是一切内力所做的功的和。在考虑内力作用的时候，应该注意作用力与反作用力总是大小相等且方向
13、相反，所以质点系内力的矢量和为 0，但作用力与反作用力的功却不一定是等值反号的。例如，我们把汽车和车厢内装载的物体看成一个系统，当汽车紧急刹车时，物体在车厢内滑行一段位移。在这个过程中，物体和车厢底板之间的一对摩擦力等值反号，但是这两个摩擦力所做的功虽然反号却不等值。所以，由两个以上物体构成的系统的动能的变化应等于一切外力所做的功与一切内力所做的功的代数和，此即系统的动能定理。用公式表示就是 12kEW内外。由于内力包括保守力（做功与路径无关的力）与非保守力（做功与路径有关的力） ，上式可改写成 12k内 非内 保外。因为一切内保守力所做的功等于势能变化的负值，即)(12ppEW内 保 ，由此
14、可得 12)( kpE内 非外 ，即 121)(pkk）（内 非外 。上式表明系统的机械能的变化等于一切外力和一切非保守内力所做功的代数和，这就是功能原理。在处理功和能的实际问题时，可以用动能定理，也可以用功能原理，得出的结论是一致的。动能定理和功能原理的差别在于：前者研究的是动能的变化，要考虑内保守力所做的功；后者研究的是机械能的变化，不考虑内保守力所做的功。这是由于内保守力能引起动能的变化，却不会引起机械能的变化。由功能原理可以看出，对于一个孤立系统，即与外界没有能量交换的系统， 0外W。这时，只有当 0内 非W，即内非保守力不做功时，系统的机械能才是守恒的。也就是说，一个物体系统，如果只
15、有系统内部的保守力（如重力和弹力）做功，其他内力和外力都不做功，那么物体系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。12.应用机械能守恒定律与动能定理解题的异同应用机械能守恒定律和应用动能定理解题有以下异同点： 思想方法相同 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。 适用条件不同 机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功。 分析思路不同 用机械能守恒定律解题只有分析研究对象的初、末状态的动能和势能；而用动能定理解题
16、，不但要分析研究对象的初、末状态的动能，还要分析所有外力（及内力）所做的功，并求出这些外力（及内力）所做的总功。 书写方式不同 在解题的书写表达上，机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和；而用动能定理解题时，等号左边一定是外力（及内力）的总功，右边则是动能的变化。 mgh、 21kx的意义不同 在机械能守恒定律中 mgh、 21kx分别是重力势能和弹性势能，出现在等号的两边，如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能或弹性势能为 0；在动能定理中分别是重力和弹力所做的功，写在等号的左边。不管用什么规律，等号两边决不能既有重力或弹力做功，又有重力势能或弹性势能。应用链接本节知识的应用主要涉及机
17、械能守恒条件的分析，对机械能守恒定律的理解，以及机械能守恒定律的分析和计算。基础级例 1 下列叙述中正确的是（ ）A. 做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B. 做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒C. 外力对物体做功为 0 ，物体的机械能一定守恒D. 系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒提示 系统机械能是否守恒，可根据机械能守恒的条件来判断。解析 做匀速直线运动的物体所受合力为 0 ，重力以外的其它力的合力是重力的平衡力，只有当物体做水平方向的匀速直线运动时，这些力才对物体不做功，物体（严格地讲，应是物体与地球组成的系统，下同）的机械能才守恒。当物体沿除水平直线以外的任意直线运动时，重力以外的其它力的合力对物体做功，物体的机械能不再守恒。做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，如自由落体、竖直上抛、竖直下抛、平抛、斜抛等运动中，物体的机械能守恒；若重力以外的其它外力对物体做功的代数和不为 0，则物体的机械能不守恒。外力对物体做功为 0 时，有两种情况：若重力不做功，则其它
