1、2.4 初等函数1、指数函数2、对数函数3、乘幂 ab 与幂函数4、三角函数和双曲 函数5、反三角函数和反双曲函数6、小结与思考一、指数函数数学分析中，指数函数 ex对任何实数 x都是可导的，且(ex)=ex。自然地，我们也希望在复平面内定义具有同样性质的一个函数 f(z)。1、指数函数的定义当函数 f(z)在复平面内满足下面三个条件：（ 1） f(z)在复平面内处处解析；（ 2） f (z)=f(z)；（ 3）当 Im(z)=0时， f(z)=ex，其中 x=Re(z)。则称此函数 f(z)为复变数 z的指数函数，记为 exp z。1、指数函数的定义例 2-2-1中，函数f(z)=ex(co
2、sy+isiny)是一个在复平面内处处解析的函数，且有 f (z)=f(z)，并从上式可知，当 Im(z)=y=0时， f(z)=ex。所以这个函数是满足条件（ 1）、（ 2）和（ 3）的函数，我们称它为复变数 z的指数函数，记作：exp z=ex(cosy+isiny)指数函数的定义上述这个定义，等价于关系式|exp z|=exArg(exp z)=y+2k其中， k为任何整数。指数函数的定义因为 exp z0，跟 ex一样， exp z也服从加法定理：exp z1exp z2=exp(z1+z2)事实上，设 z1=x1+iy1， z2=x2+iy2按定义有：指数函数的定义鉴于 exp z满
3、足条件（ 3），且加法定理也成立，为了方便，我们往往用 ez代替 expz。必须注意，这里的 ez没有幂的意义，仅仅作为代替 exp z的符号使用。因此有：ez=ex(cosy+isiny)指数函数的定义特别，当 x=0时，有eiy=cosy+isiny由加法定理，我们可以推出 exp z的周期性，它的周期是2ki，即ez+2ki=eze2ki=ez其中， k为任何整数。指数函数的 性质指数函数的一些重要性质：（ 1）指数函数 ez在整个 Z 的有限平面内都有定义，且处处不为零 . （ 2） （ 3）指数函数是以 为周期的周期函数 （ 4）指数函数 ez 在整个复平面上解析，且有 （ 2） 2、加法定理证 指数函数举例例 1 解
