1、3.3 拉格朗日插值公式线性插值仅仅利用两个结点上的信息，精度很低。下面考察下述三点插值问题：给定含有三个结点的函数表：作二次多项式 y=p2(x)，使 y=p2(x)在结点 x0， x1， x2分别取函数值 y0， y1， y2，即满足条件：p2(x0)=y0， p2(x1)=y1， p2(x2)=y2问题的提出已知 y=f(x)在结点 x0， x1， x2分别取函数值 y0， y1， y2，求二次多项式 y=p2(x)=a0+a1x+a2x2，满足条件：p2(x0)=y0， p2(x1)=y1， p2(x2)=y2根据要满足的三个条件，确定三个未知数根据要满足的三个条件，确定三个未知数 a
2、0， a1， a2满足 ，因，因此可采用待定系数法。即：此可采用待定系数法。即：基本插值多项式为了得到插值多项式 y=p2(x)，先解决一个比较简单的插值问题：寻求二次式 A0(x)，使满足条件A0(x0)=1， A0(x1)=0， A0(x2)=0或者说，使适合下列函数表这样的插值多项式不难直接构造出来。为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。解方程组。基本插值多项式由条件 A0(x1)=A0(x2)=0知， A0(x)含有 xx1和 xx2两个因子，令A0(x)=(xx1)(xx2)再用条件 A0(x0)=1确定其中
3、的系数 ，结果得到：基本插值多项式类似地作出满足条件A1(x0)=0， A1(x1)=1， A1(x2)=0与A2(x0)=0， A2(x1)=0， A2(x2)=1的插值多项式 A1(x)与 A2(x)：得到的三个插值多项式 Ak(x)（ k=0,1,2）统称以 x0， x1， x2为结点的基本插值多项式。二次插值用这些基本插值多项式作出的线性组合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)显然是个不超过 2次的多项式，并且满足条件（ 7），因而即为所求的插值多项式 y=p2(x)。基本插值多项式Ak(x)的表达式上面已经导出，代入上式得到：二次插值的几何意义这种二次插值的几何解释是，
4、用通过三点 (x0,y0)，(x1,y1)， (x2,y2)所作的抛物线来近似曲线 y=f(x)，因此二次插值亦称抛物插值 (图 3-2)。举例例 3-3-1 利用 100， 121和 144的平方根，求 。解 利用抛物插值公式其中， x0=100， y0=10； x1=121， y1=11； x2=144， y2=12；又 x=115，代入求得再同所求平方根的实际值 10.7238比较，得到了具有 4位有效数字的结果。一般形式的插值问题（ n次插值）进一步讨论一般形式的插值问题。设设 函数函数 y=f(x)在区在区 间间 a,b上有上有 节节 点点 x0, x1, , xn上的函数上的函数 值值 ，构，构造一个次数不超造一个次数不超 过过 n次的代数多次的代数多 项项 式式使使 。即。即 n次代数插次代数插 值满值满 足在足在 n+1个个 节节 点点上插上插 值值 多多 项项 式和被插式和被插 值值 函数函数 f(x)相等，而且插相等，而且插 值值 多多 项项 式式 P(x)的的次数不超次数不超 过过 n次。次。一般形式的插值问题（ n次插值）仿照线性插值和二次插值所采用的办法，仍从构造所谓基本插值多项式着手。先对某个固定的下标 k，作 n次多项式 Ak(x)，使满足条件：或者说，使适合下列简单形式的函数表：
