1、第二章 命题逻辑的等值和推理演算 n 推理形式 和 推理演算 是数理逻辑研究的基本内容 n 推理形式 是由前提和结论经蕴涵词联结而成的n 推理过程是从 前提 出发，根据所规定的 规则 来推导出 结论 的过程 n 重言式 是重要的逻辑规律，正确的推理形式、等值式都是重言式n 本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以 语义的观点进行的非形式的描述 ，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。n 严格的形式化 的讨论见第三章所建立的公理系统。 等值演算 (考察逻辑关系符 (=)n 等值定理、公式n 联结词的完备集 (由个别联结词表示所有联结词的问题 )n 对偶式 (命题公式的对偶性 )n 范
2、式 (命题公式的统一标准 )由真值表写命题公式 (由 T写、由 F写 )推理演算 (考察逻辑关系符 )n 推理形式 (正确推理形式的表示 )n 基本推理公式 (各种三段论及五种证明方法 )n 推理演算 (证明推理公式的第六种方法，使用推理规则 )n 归结推理法 (证明推理公式的第七种方法，常用反证法 )2.1 等值定理 n 若把初等数学里的、 、 等运算符看作是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数式之间，可建立许多等值式如下：x2 y2 = (x y)(x y)(x y)2 = x2 2xy y2 sin2x cos2x = 1在命题逻辑里也同样可建立一些重要的等值式 2.1.1
3、等值的定义 n 给定两个命题公式 A和 B, 而 P1P n是出现于 A和 B中的所有命题变项 , 那么公式 A和 B共有 2n个解释 , 若对其中的任一解释 , 公式 A和 B的真值都相等 , 就称 A和 B是等值的 (或等价的 )。 记作 A = B或 ABn 显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的例 1: 证明 (P P) Q = Q证明 : 画出 (P P) Q与 Q的真值表可看出等式是成立的。例 2: 证明 P P = Q Qn 证明 : 画出 P P, Q Q的真值表 , 可看出它们是等值的 , 而且它们都是重言式。n 从例 1、 2还可说明 , 两个公式等值并不一定要求它们一定含有相同的命题变项q 若仅在等式一端的公式里有变项 P出现 , 那么等式两端的公式其真值均与 P无关。q 例 1中公式 (P P) Q与 Q的真值都同 P无关q 例 2中 P P, Q Q都是重言式 , 它们的真值也都与 P、 Q无关。 说明2.1.2 等值定理 定理定理 对公式 A和 B, A=B的充分必要条件是 AB是重言式。n A、 B不一定都是简单命题 , 可能是由简单命题P1, , P n构成的 . 对 A, B的一个解释 , 指的是对P1, , P n的一组具体的真值设定 .n 若 AB为重言式 , 则在任一解释下 A和 B都只能有相同的真值 , 这就是定理的意思。
