1、电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程离 散 数 学*电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-2*第 13章 群正规子群5特殊群3半群与含幺半群1群及其性质2陪集与拉格朗日定理4电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-3*13.1 本章学习要求重点掌握 一般掌握 了解11 半群、群、子群及性质2 元素的周期及计算3 生成元与循环群4 陪集与拉氏定理 3商群及性质2正规子群性质与同态核电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-4*13.2半群与含幺半群定义 13.2.1 在二元代数 中
2、，若二元运算“ ” 满足结合律，则称 为 半群 ；若半群 中的二元运算 “ ” 满足交换律，则称 为 可交换半群 。定义 13.2.2 设 为半群，若 S中存在关于运算 “ ” 的幺元 e，则称此半群为 含幺半群（或独异点）， 有时也记为 ；若 含幺半群 中运算 “ ” 满足交换律，则称 为 可交换含幺半群（可交换独异点）。电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-5*例 13.2.1 设 A是非空集合， AA表示所有 A到 A的函数集合，运算 “ ” 表示映射的复合运算，证明 是半群。分析 只需证明运算 “ ” 满足封闭性和结合律。证明 对任意 f, g AA， 显然有
3、fg AA， 故封闭性成立。又函数复合运算 “ ” 满足结合律，所以 是半群。电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-6*例 13.2.2 设 S是一个集合， P(S)是 S的幂集合，试证明代数系统 与 都是可交换的含幺半群。分析 运算 “ ” 和 “ ” 显然满足交换律，因此只需说明 与 是半群，并计算它们的幺元即可。电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-7*例 13.2.2（续）证明 显然运算 “ ” 和 “ ” 均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。易证 和 S分别是 和 的幺元。因此， 与 是可交换的含幺半群。电子科技大学离散数学课
4、程组 国家精品课程 双语示范课程157-8*例 13.2.3 设 n 0, 1, 2, , n-1 , 定义 n上的运算 n 如下：x, y n, x ny x y (mod n)(即 x y除以 n的余数 )。证明 是含么半群。证明 ： 封闭性 ： x, y n, 令 k x y (mod n), 则0k n-1, 即 k n, 所以封闭性成立；电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-9*例 13.2.3（续）结合律 ： x, y, z n, 有(x n y) n z x y+z (mod n) x n (y n z)所以结合律成立。么元 ： x n, 显然有0 nx x n0=x所以 0是么元。故 是含么半群。电子科技大学离散数学课程组 国家精品课程 双语示范课程157-10*子半群和子含幺半群将子代数应用于半群，可得下面的定义：定义 13.2.3 如果 是半群， T是 S的非空子集，且运算 “ ” 对 T封闭，则称 是半群 的 子半群 ；如果 是含幺半群， T是 S的非空子集，eT 。且运算 “ ” 对 T封闭，则称 是含幺半群 的 子含幺半群 。
