1、主要内容l一阶逻辑命题符号化个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化l一阶逻辑公式及其解释一阶语言合式公式合式公式的解释永真式、矛盾式、可满足式第四章 一阶逻辑基本概念14.1 一阶逻辑命题符号化 个体词 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项 ：表示具体或特定的客体的个体词，常用 a, b, c表示个体变项 ：表示抽象或泛指的个体词，常用 x, y, z表示个体域 (论域 ) 个体变项的取值范围个体域可以是有穷集合，如 a, b, c, 1, 2 , 也可以是无穷集合，如 自然数集合 N, 整数集合 Z, 实数集合 R, 全总个体域 由宇宙间一切事物组成，包括万事万物本书在论述或推理
2、中如不指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。2谓词谓词 表示个体词性质或相互之间关系的词，常用 F， G， H， 表示。谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。如 , F(a)： a是人谓词变项 表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词。如 , F(x)： x具有性质 Fn（ n1）元谓词 表示以个体域为定义域，以 0 , 1为值域的 n元函数或关系。一元谓词 (n=1) 表示个体词的性质多元谓词 (n2) 表示个体词之间的相互关系如 , L(x,y)： x与 y 有关系 L， L(x,y)： xy， 0元谓词 不含个体变项的谓词 , 例如： F(a) ， G(a,b) ， P(a1,a2,a3, ,
3、an)等都是 0元谓词。当谓词为谓词常项时， 0元谓词为命题。命题逻辑中的命题均可以表示成 0元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词。 3实例 1例 4.1 将下列命题在一阶逻辑中用 0元谓词符号化，并讨论它们的真值 : (1)只有 2是素数， 4才是素数。 (2)如果 5大于 4，则 4大于 6. 解 (1)设一元谓词 F(x):x是素数， a:2， b:4。 (1)中命题符号化为 0元谓词的蕴涵式 : F(b)F(a ) 由于此蕴涵式的前件为假，所以 (1)中命题为真。 (2) 设二元谓词 G(x， y):x大于 y， a:4， b:5， c:6。 G(b,a)， G(a,c)是两个 0元谓
4、词，把 (2)中命题符号化为 G(b,a)G(a,c ) 由于 G(b,a)为真，而 G(a,c)为假，所以 (2)中命题为假。 4量词量词 表示个体常项或变项之间数量关系的词全称量词 : 表示所有的 .如： “一切的 ”， “所有的 ”， “每一个 ”， “任意的 ”， “凡 ”， “都 ”等 x : 表示个体域中的所有个体 x如 , xF(x)表示个体域中所有个体 x都有性质 FxyG(x,y)表示个体域中的所有个体 x和 y有关系 G，其中 F和 G是谓词。存在量词 : 表示存在 , 有一个 . 如： “存在 ”， “有一个 ”， “有的 ”， “至少有一个 ”， “有的 ”， “至少有
5、一个”等x : 个体域中存在个体 x 如 , xF(x)表示个体域中存在个体 x具有性质 FxyG(x,y)表示个体域中存在个体 x和 y有关系 G全称量词 与 存在量词 可以联合使用。xyG(x,y)表示对个体域中每一个个体 x都存在一个个体 y使得x和 y有关系 GxyG(x,y)表示个体域中存在个体 x使得和个体域中的所有个体 y具有关系 G5实例 2例 4.2 在个体域分别限制为 (a)和 (b)条件时，将下面两个命题符号化 : (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中 :(a)个体域 D1为人类集合；(b)个体域 D2为全总个体域。 解 (a) 令 F(x) :x呼吸
6、. G(x)： x用左手写字(1) 符号化为 xF(x)(2) 符号化为 xG(x)(b) D2中处有人外，还有万物，因而在符号化时必须考虑将人先分离出来。为此引入特性谓词 M(x)： x为人 , F(x) 和 G(x)的含义同(a)中。(1) x(M(x)F(x) (2) x(M(x)G(x)l 一定要注意正确使用特性谓词 M(x) 、 和 联接词。l (a)中的公式 (1),(2)是一阶逻辑中两个 “基本 ”公式当 F是谓词常项时， xF(x)是一个命题。如果把个体域中的任何一个个体 a代入，F(a)都为真，则xF(x)为真；否则xF(x)为假。当 F是谓词常项时， xF(x)也是一个命题
7、。如果个体域中存在一个个体 a，使得 F(a)都为真，则 xF(x)为真；否则 xF(x)为假。6实例 3例 4.3 在个体域限制为 (a)和 (b)条件时，将下列命题符号化 ，并给出真值 : (1) 对于任意的 x，均有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). (2) 存在 x，使得 x+5=3. 其中 : (a)个体域 D1=N (b)个体域 D2=R 解 (a) 令 F(x)： x2-3x+2=(x-1)(x-2)， G(x): x+5=3(1) 符号化为 xF(x) 真命题 (2) 符号化为 xG(x) 假命题(b)在 D2内， (1)和 (2)的符号化形式还是同 (a)， (1)依然
8、是真命题，而此时 (2)也是真命题。 从例 4.2和例 4.3可以看出以下两点 : 1. 在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。 2. 同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。 3.若没有指明个体域，就采用全总个体域 . 7实例 4例 4.4 将下列命题符号化，并讨论真值(1)所有的人都长着黑头发。(2)有的人登上过月球。 (3)没有人登上过木星。(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 解 令 M(x)： x为人(1) 令 F(x): x长着黑头发 , 则命题 (1)符号化为 :x(M(x)F(x) 设 a为某金发姑娘，则 M(a)为真，而 F(a)为假，其 (1)为
9、假命题(2)令 G(x):x登上过月球 ,则命题 (2)符号化为 :x(M(x)G(x) 设 a是 1969年登上月球完成阿波罗计划的美国宇航员阿姆斯特朗，则 M(a) G(a)为真，所以 (2) 为真命题。 8(3)令 H(x):x登上过木星 ,则命题 (3)符号化为 : x(M(x)H(x) 到目前为止，对于任何一个人 (含已经去世的人 )都还没有登上过木星，所以对任何人 a， M(a) H(a)均为假，因而 (M(x) H(x)为假，所以 (3) 为真命题。 (4)令 F(x):x是在美国留学的学生， G(x):x是亚洲人。命题(4)符号化形式为 x(F(x)G(x) 这个命题也为真。
10、例 4.4 将下列命题符号化，并讨论真值(1)所有的人都长着黑头发。(2)有的人登上过月球。 (3)没有人登上过木星。(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 9实例 5例 4.5 将下列命题符号化 : (1) 兔子比乌龟跑得快。 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快。 (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 (4) 不存在跑得同样快的两只兔子。 解 :令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟，H(x,y):x比 y跑得快， L(x,y):x与 y跑得 同样 快。这 4个命题分别符号化为 (1) x y(F(x) G(y)H(x,y ) (2) x(F(x) y(G(y)H(x,y ) 或 x y(F(x) (G(y)H(x,y )(3) x y(F(x) G(y)H(x,y )或 x y(F(x) G(y) H(x,y) (4) xy(F(x) F(y) L(x,y) 或 xy(F(x) F(y) L(x,y) 10
