1、1基于违约挽回率的债券定价综述【摘要】 本文从违约挽回率的角度对有违约债券的定价做了综述性的研究，从两个方面介绍和分析了公司债券关于违约挽回率设定的定价。这两个方面分别为：基于面值挽回率的债券定价和基于市值挽回率的债券定价。基于面值挽回债券定价的差异性主要由挽回率 w 关于时刻t 信息的是否可测产生，而基于市值挽回的定价最显著特征是它与无风险债券定价有着相同的形式，在此基础上比较分析了面值挽回和市值挽回定价的应用。 【关键词】 面值挽回 市值挽回 违约挽回率 仿射过程 违约挽回率（Recovery Rate of Default）是指借款人违约时能够偿还的债务比率。在公司债券定价的文献中，有大
2、量关于违约挽回率的假定，这些假定对债券的定价行为产生了重要影响。Jarrow 和Turnbull（1995）假定公司债券的违约挽回是由与之有着相同特征的无违约债券价格的某个比例，Duffie 和 Singleton（1999）假定违约挽回为违约前一瞬间该债券市场价格的某个比率，最后一类挽回率假定是基于债券发行条款的法律解释，由债券的优先级决定，通常设定为面值的某个比率。 在违约挽回的度量方面，不同类型的公司债券或者是同一优先级的不同公司债券，它们的违约挽回率都存在一定的差异，因此按照统一的标准度量违约挽回率存在一定的困难。根据资产定价原理，违约挽回部2分的定价是对在到期日扣除处理成本之后债券持
3、有人得到的实际支付进行贴现，然而这种处理方式对债券定价而言提供的信息十分有限。穆迪关于违约挽回的处理是基于违约债券的市场交易价格，以违约发生 1 月后，债券市场价格占面值的百分比度量。Gupton 和 Stein（2002）通过控制债券的优先级、债券评级和所属行业，给出了关于违约挽回的统计模型。该项研究基于 900 个企业的 1800 个违约观察，有违约证券包括贷款、债券以及优先股，模型中的宏观经济因素包括 1 年期 RiskCalc 违约概率分布的中位数、穆迪破产指数以及主要经济指标指数的变化值等，违约挽回的度量基于市场报出的叫卖价。Gupton 和 Stein（2002）发现债务类型和优先
4、级对违约挽回的影响最大，其次为宏观经济环境、行业和相对优先级。Gupton 和 Stein（2002）将该模型违约挽回率的均方预测误差与基于传统历史平均值的预测误差进行比较，研究发现均方预测误差是传统方法预测误差的三分之二。 一、基于市值挽回率的债券定价模型 违约时按照债券面值的比率挽回是基于债券发行条款的法律解释，它要求企业变现其资产，按照债券的优先级确定挽回率返还债券持有人。尽管这种挽回形式符合人们的认识逻辑，但是在实际操作中有大量的事实表明，公司破产变现其资产以及庭外谈判，并没有根据债券的优先级处置挽回。还有一类因重组而不是破产产生的债务违约，在处置挽回时债券法律上的优先级并不是一个非常
5、重要的因素，尤其是在主权债务违约时，法律上的优先级仅仅是次要考虑的因素，因此基于面值挽回的假定只是一种近似。 3假定违约在离散的时间间隔中发生并在违约发生的时刻支付挽回部分。令违约的基本周期为=1/365，债券到期前的周期数为 n，满足n=（T-t）/。Z（t，ti）表示在时间区间t+（i-1），t+i（i1，n）得到的任何违约挽回在时刻 t 的市场价格。d（t，T）表示在时间 T 到期的有违约债券在时刻 t 的价格： d（t，T）=d0（t，T）+Z（t，ti） （1） 其中，d0（t，T）表示债券在到期日的相机支付，第二项为到期日之前的任何现金流在时刻 t 的价格。 假定在风险中性条件下无
6、风险利率和违约风险强度相互独立，且违约挽回是面值的 w（0，1）倍，w 为常数。在任何的时间间隔（u，T）中违约的条件概率为 P（t，u）-P（t，T） ，因而有： Z（t，ti）=（t，t+i）w（P（t，t+（i-1）-P（t，t+i） ）（2） 其中， （t，s）为到期日为 s 的无风险贴现率，也是到期日为 s 无违约债券在时刻 t 的价格。当趋近于 0 时，条件于时刻 t 的市场信息，（2）式转化为连续时间情况下的债券定价为： d（t，T）=d0（t，T）+w（t，u） （t，u）du （3） 上式中的（t，u）为风险中性条件下的违约时间强度： （t，u）=-P（t，u） （4） 在（
7、3）式可违约债券的简约化定价模型中，假定违约时间是基于风险中性违约强度的双重随机过程，则（4）式可重新表示为： （t，u）=Ete（u） （5） 4在是因子的仿射强度过程时， （5）式中关于（t，u）的解析解是存在的，见 Duffie 和 Kan（1996） 。 假定无风险利率过程 rt 和违约时间存在相关性即 rt 和 t 有共同的影响因子，则（3）式可以进一步扩展为： d（t，T）=d0（t，T）+k（t，u）du （6） 其中，k（t，u）=wEe（u），在无风险利率 rt 和为仿射过程时，可以得到 k（t，u）的解析解。 另一种情况假定挽回部分在到期日 T 支付，并且挽回率与违约时间和
8、无风险利率不存在相关性。在这个假定下，债券挽回率隐含在初始确定的到期日 T，在时刻 T 债券的相机支付为： lt+wlT=（l-w）lt+w （7） 因此，对于任何违约时间模型，在时间 t 的价格为： d（t，T）=（1-w）d0（t，T）+w（t，T） （8） 最后，考虑面值挽回定价中挽回率 w 的随机性。假定挽回率 w 是关于违约时间-的信息可测的，则有违约债券的定价可表示为： d（t，T）=d0（t，T）+k（t，u）du （9） 其中，挽回价值的密度函数为：k（t，u）=Ee（u）w（u），当w（u）是因子的仿射函数时，k（t，u）有解析解。 在面值挽回的债券定价中，关于挽回率 w 的
9、设定，如果它是关于时刻 t 的信息可测的，则有违约债券定价公式由（6）式给出，而如果挽回率 w 是关于-的信息可测的，则定价公式由（9）式给出，它们之间的差异在于挽回率的密度函数。 5二、基于面值挽回率的债券定价模型 另一种关于违约挽回的假定是在风险中性条件下，如果债券在时刻t 发生违约，将债券损失假定为条件于时刻 t 所提供的所有市场信息（不包括时刻 t）债券市场价格 E（P|Ft-）的比例 Lt，而（l-Lt）可以理解为一个在其他所有方面与该债券有相同特征的无风险债券的市场价格。由于市场很难严格观测到债券的优先级，将违约时债券的挽回价值设定为市场价格的一定比率有一定的合理性。 给定风险中性
10、违约强度过程，在时间 t 违约造成的风险中性条件期望损失率为 st=Lt，Duffie 和 Singleton（1999）证明在一定的技术条件和风险中性概率测度下，违约时刻 t 前的一瞬间零息票债券的价格为： d（t，T）=Ee （10） （10）式包含挽回价值和违约风险以及无风险利率之间的相关性，这些相关性通过一个单一的经违约调整的短期利率 R=r+L 来实现。这种处理方式也适用于对非流动性成本的处理，通过对短期利率的调整来实现。 市值挽回债券定价（10）式的最显著特征是在风险中性条件下仅仅利用经违约调整的短期利率过程 R=r+s 作为价格的贴现率，它与无风险债券定价有着相同的形式。因此，可
11、以建立一个可操作的有违约债券定价模型，它与无风险债券定价有着相同的计算平台，许多关于无违约短期利率过程 r 的理论分析和计算可以直接地运用于 r 和 s 的建模，或者直接用 R 建模。 在上述定价框架下，仅仅了解可违约债券的价格还不足以确定和 L6的值，最多只能提取预期的风险中性损失率 Lt 的信息。为了能够识别风险中性违约强度和损失率 L 的值，还需要增加额外的信息加以识别：同一公司的一组债券，它们有共同的违约特征即的值相同，或者信用衍生证券，它们以不同的方式取决于和 L。 三、基于面值挽回和市值挽回债券定价的应用 在实际应用中，面值挽回和市值挽回这两种定价方式可以根据债券发行的条款要求和债
12、券分析的目灵活处理。在公司债券的定价中，给定公司的财务状况如流动资产和该公司发行的所有债券的优先级，从法律的角度看债券违约后的挽回情况，同等级别的债券应该有相同的挽回率，在此情形下面值挽回的定价方式更为合理。另外，在风险中性条件下，有违约债券市值挽回定价最显著的特征和优势是它与无风险债券定价有着相同的贴现形式，债券定价只需要调整无风险债券定价公式的参数。因此，在校准模型参数或者对债券实行灵敏度分析时，市值挽回的定价方式是更好的选择。 【参考文献】 1 Jarrow R.，and Turnbull S. Pricing Options on Financial Securities Subjec
13、t to Default RiskJ.Journal of Finance，1995（50）. 2 Duffie D.，and Kan R. A Yield Factor Model of Interest RatesJ.Mathematical Finance，1996（6）. 3 Duffie D.，and Singleton K. An Econometric Model of the Term Structure of Interest Rate Swap YieldsJ. Journal of 7Finance，1997（52）. 4 Gupton G.， and Stein R. LossCalc： Moodys Model for Predicting Loss Given Default （LGD）.Working Paper，Moodys Investors Services，Global Credit Research，New York，2002.
