1、“归类”教学打开学生思维大门的一把钥匙中图分类号：G717.38 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）22-0190-03 课堂教学改革打破了传统教学束缚学生思维发展的旧模式，全力打造高效课堂。要让学生学得高效，老师就要提高自身的素质。作为一名数学教师，一定要学会归类教学，培养学生的数学思维能力。 记得在某次练习中有这样一道题目：抛物线与 y 轴交于点 A，顶点为B，对称轴 BC 与 x 轴交于点 C.点 P 在抛物线上，直线 PQBC 交 x 轴于点Q.若一块含 30角的直角三角板一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上，则点
2、P 的坐标为。全班只有一位学生答对了这道题，而且方法比较复杂，通过设两个未知数、用 K 字型相似、整体代入等，并带有一定的技巧性。他是这样解的（如图 1 所示）： 讲完后，学生恍然大悟，一位学生问到：“老师，什么情形下想到共圆呢？” 学生之所以会提出这样的问题，其原因是对知识点的不熟悉，对条件的分析不敏感。而事实上很多题目看似与圆无关，但用共圆的方法解决能够避免繁琐的计算，也是最简便、最有效的方法。因此，必须要让学生掌握这类题目的解法。那么，如何才能实现呢？是通过题海战术吗？当然不是，这样只会让学生厌倦，从而对学数学失去兴趣。最有效的方法就是“归类”教学，举一反三，提高学生的数学思维能力，让学
3、生做到解一题会一类，真正提高课堂效率，减轻学生负担。 “归类”教学就是将知识点、方法进行归类总结，数学这门课的知识点就是从题目中体现，因此练习的选择就尤其关键。那么，在选择例题时要注意哪些方面，才能更好地起到归类作用，更有利于培养学生数学思维能力呢？ 一、归类教学，要有目的性、针对性 在选题前必须充分考虑到所选习题是要加深学生对概念的理解和掌握，或是对错误认识的纠正，还是对基本解题技能的进一步熟练等等。这就要求数学老师要非常了解学生对知识点的掌握程度，哪些地方掌握得好，哪些地方还存在问题。因此，在选题时必须要有针对性、代表性。比如这节课所选的题目并不是和圆相关就行，恰恰相反，题目中呈现出的与圆
4、并没有任何关系，而是让学生提炼出用共圆的方法。也就是说，看似与圆无关，但事实上隐含着圆，而这个隐身圆就需要学生们去发现。这就是本节课老师需要让学生掌握的解题技能和方法。 二、归类教学，要由浅入深、层层递进 设计的练习难度要适中，要有梯度。若一开始就太难，容易使学生产生畏惧情绪，做而生烦；若都很容易，太过于浅，又会让学生产生松懈怠慢心理，也不利于个性品质的培养。因此，设计的问题一定要由浅入深、层层递进。比如：刚开始我先出示这样这两个问题： 以上两题的条件中有着很明显的共圆的特点，学生比较容易想到。在上述两题的方法铺垫下，我又出示了下面一题： 3.解决有关直角问题时 例 3：点 A、B 是平面直角
5、坐标系内的两个点，且 A（1，4） 、B（6，1） ，P 是 x 轴上一点，且ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P共有几个？ 解析：ABP 为直角三角形，根据直角顶点分类讨论.易知满足PAB=90的点 P 有 1 个；满足PBA=90的点 P 有 1 个；根据直径所对的圆周角是 90，满足APB=90的点 P 在以 AB 为直径的圆上. 因此，只须判断圆与 x 轴的位置关系. 由已知 A（1，4） 、B（6，1）易得圆的半径 r=，圆心到 x 轴的距离 d=.由 dr 可知圆与 x 轴相交. 所以满足APB=90的点 P 有 2 个. 综上所述，满足条件的 P 点共有 4 个. 说明：由上
6、题的启发，学生容易联想到圆，而且圆中很重要的结论“直径所对的圆周角是 90角” ，从而点 P 在以 AB 为直径的圆上。因此很自然得转化为判断直线与圆的位置关系。 三、归类教学，要注意题目的变式和引申 题目的变式、引申可以有以下几类：1、题目背景、结论不变，变换部分条件；2、题目背景、条件不变，变换结论；3、改变题目背景，结论不变；4、改变题目背景以及结论，但知识点或者方法不变。 上述两题都涉及到直径所对的圆周角 90角，而且问题直白、计算简单。那么我们也可以进行变式，这条弦不一定是直径，也可以是普通的弦，问题的设置上也可以让学生动动脑子，稍稍转下弯，而不是轻而易举得解决。这样学生才不会松懈怠
7、慢，也能时时体验成功的快乐。因此我又出示了这样一题： 1.当一条线段同侧所张的两个角相等时 例 5：如图 4 所示，平面直角坐标系中，直线与直线 x=3 交于点 P，点 A 是直线 x=3 与 x 轴的交点.将直线 OP 绕着点 O、直线 AP 绕着点 A 以相同的速度逆时针方向旋转.旋转过程中，两条直线交点始终为 P，当直线 OP 与 y 轴正半轴重合时，两条直线同时停止转动.整个旋转过程中，点 P 所经过的路线长为 。 解析：由旋转的性质可得OPA 始终为 30，在 OA 同侧张角等于圆周角，故点 O、A、P 三点共圆.因为OAP=90，根据“90的圆周角所对的弦是直径”可得 OP 为该圆
8、的直径.当直线 OP 与 y 轴正半轴重合时，旋转过的角度为 30，故点 P 所走过的弧长所对的圆心角为 60，根据弧长公式可得： 说明：本题中OPA 始终为 30角这个结论很多学生并不能得出，需要作出旋转后的某个点 P，与旋转前的图形比较得到。因此这是一个难点，也就要求学生要学会综合运用，要有较强的分析问题的能力。但可以肯定的是，这样的问题如果学生能自己解决，那一定能够提高他的自信心和学数学的兴趣。 四、归类教学，要注意问题的多样性，加强综合分析能力培养 上述例题图形简单，涉及的条件、结论也比较单一。所以接下来的练习中选择的图形会比较复杂多样，问题也都各不相同，而且也基本涵盖了所有用辅助圆解
9、决的题目特点。 1.解决有关等腰三角形问题时 例 6：如图 5 所示，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=，点 E 是折线段ADC 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点.在点 E 运动的过程中，使PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有几个？解析：一个 P 点对应着一个 E 点，一个 E 点对应着一个 P 点，所以只须找出有几个符合条件的点 P. 根据折叠的性质可得 BP=BA，所以点 P一定在以 B 为圆心、BA 长为半径的B 上.又因为点 E 折线段 ADC 上，故点 P 在如图所示的半圆上.因为 BP=4、BC=要使PCB 为等腰三角形只可能
10、 PB=PC、CB=CP 两种情况.PB=PC 时，点 P 在线段 BC 的中垂线上，该线与B 有 2 个交点，所以存在 2 个 P 点使 PB=PC；当 CB=CP 时，点 P 一定在以 C 为圆心、CB 长为半径的C 上，C 与B 有 2 个交点，故存在2 个 P 点使 CB=CP. 综上所述，共有 4 个满足题意的点 P，所以点 E 的位置有 4 个. 说明：在找等腰三角形时往往需要对顶点进行分类，当已知的两点构成的线段为腰时都可以通过圆的方法找第三个点。 解析：根据折叠的性质可得 EP=EA，所以点 P 一定在以 E 为圆心、EA长为半径的圆上. 因为点 P 要在直角梯形 ABCD 内
11、部，故点 P 在落在梯形内的圆弧上. 当点 E 越靠近 B 点时，圆的半径越大，所以圆弧上的点离点 P 越近，当 E 点在 B 点时半径最大，圆弧离点 D 最近. 而在圆弧上的所有点中又有一个点离点 D 最近，易知该点就是直线 BD 与圆的交点，如图所示即为 P.因为 AD=4、AB=8，所以 BD=，DP=BD-BP=. 故 PD 的最小值为. 说明：折叠时对应边的长度始终相等，且到折痕的某个端点的距离相等。故折叠前后的两个对应点共圆。 作为一名数学教师， “归类”教学是提高课堂效率的有效途径，不仅让学生对知识的内在联系有更深一步的理解，更培养了学生的数学思维能力。真正做到解一题会一类，减轻负担，事半功倍。
