1、相交线与平行线综合提高一、教学内容：相交线与平行线综合提高1. 了解对顶角的概念，掌握其性质，并会用它们进行推理和计算2. 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义3. 知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线4. 知道两直线平行同位角相等，并进一步探索平行线的特征5. 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线6. 掌握平行线的三个判定方法，并会用它们进行直线平行的推理二、知识要点：1. 两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行（2）平
2、行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线2. 几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角（2）对顶角：定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角性质：对顶角相等（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角3. 主要的结论（1）垂线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线
3、段最短简称：垂线段最短（2）平行线的特征及判定平行线的判定 平行线的特征同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4. 几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度5. 几个基本图形（1）相交线型一般型（如图） ；特殊型（垂直，如图） ABCDOABCO （2）三线八角一般型（如图） ；特殊型（平行，如图） ABCDEFABCDEF 三、重点难点：重点有两个：一方面要掌
4、握关于相交线和平行线的一些基本事实，另一方面学会借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线，用移动三角尺的方法画平行线难点是是利用对顶角的性质、平行线的特征、两直线平行的条件等进行推理和计算四、考点分析：考查（1）对顶角的性质；（2）平行线的识别方法；（3）平行线的特征，其中依据平行线的识别与特征解决一类与平行线有关的几何问题是历届中考命题的重要考点常见题型有填空题、选择题和解答题，单纯考查一个知识点的题目并不难，属于中低档题，将平行线的特征与其他知识综合起来考查的题目难度较大，属高档题【典型例题】例 1. 如图所示，已知 FCABDE，DB 234，求、D、B 的度数ACEF1分析：由条件D
5、 B234可以分别设出、D、B，再根据题目给出的条件建立方程求解解：设2x，D 3x，B4x FC ABDE，2B180，1 D180，21804x，11803x，又12180，1803x2x 1804x 180，5x180，x 36，2x72，D 3x108，B4x 144评析：解答这类计算题不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立起联系来，当待求结论要经过复杂过程才能求得时，一定要思路清晰、叙述表达严密例 2. 如图所示，直线 ab，则A _ABCEab2850ABCDEab2850分析：已知条件 ab 能转化为三线八角，过 A 作 ADa，那么已知的两个角
6、可转换到顶点 A（都用内错关系转化） ，可求A. 由 ADa，ab，可知 ADb，由两直线平行内错角相等得：DAB ABE28，DAE50，EAB50 2822解：22评析：用平行线三线八角把已知角转化成以 A 为顶点的角即可例 3. 已知：如图所示，DFAC，12试说明 DEAB. BCDEF12分析：要说明 DEAB，可以证明 1A ，而由 DFAC，有2A ，又因为12，故有1A，从而结论成立解：DFAC（已知） ，2A（两直线平行，同位角相等） 12（已知） ，1A（等式性质） ，DEAB（同位角相等，两直线平行） 评析：说明两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直
7、线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行例 4. 试说明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行分析：先根据题意画出图形，标注字母，找出已知条件和问题，再进行说明 ABCDGHMNEF12解：已知：如图所示，ABCD，EF 分别交 AB、CD 于 G、H，GM、HN 分别平分BGF、EHC. 说明 GMHNGM、HN 分别平分BGF、EHC（已知） ，1BGF，2EHC（角平分线定义） ABCD ，BGF EHC （两直线平行，内错角相等） 12GMHN（内错角相等，两直线平行） 评析：（1）上题把内错角平分线改为
8、同位角平分线，原结论也成立，请同学们自己试着解一解 （2）此题为文字题，首先应根据题意画出图形，再根据已知条件和结论结合图形写出解题过程例 5. 如图所示，已知 CEDF，说明ACEAABF BCDEFG分析：结论中ACE，A 与 ABF 在三个顶点处，条件 CEDF 不能直接运用，结论形式启示我们用割补法，即构造一个角等于A ABF ，因此想到在点 A 处补上一个GAB ABF ，只要GADF 即可，同时可得 GACE ，GAC ACE，结论便成立解：过 A 作 AGDF，GABABF（两直线平行，内错角相等）又AGDF，CEDF （已知）AGCE（平行于同一直线的两条直线互相平行）GACA
9、CE（两直线平行，内错角相等）又GACBACGAB （已知）ACEBACABF（等量代换） 评析：（1）割补法是一种常用方法 （2）此题还可以过点 C 作一条直线与 AB 平行，把ACE 分成两个角后，分别说明这两个角与A 、ABF 相等例 6. 解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄 A 点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向 B 点处（如图所示，残匪沿北偏东 60角方向，向 C 村进发游击队步行到 A处，A正在 B 的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东 30方向赶往 C 村问游击队进发方向AC 与残匪行进方向 BC 至少是多少角度时，才能保证 C 村村民不
10、受伤害？AB北 东AB北 东DE分析：如图可知 AC 与 BC 的夹角最小值是BCA本题关键是引辅助线，延长 AB 到 D，过 C作 CEAD ，通过平行线特征来求解解：根据题意DBC60，BAC30过点 C 作 CEAB，则BCE DBC60，ACEBAC30BCABCE ACE603030夹角至少为 30时才能保证 C 村村民不受伤害评析：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识【方法总结】1. 方程的思想几何图形中常见一些已知线段、角，而要求未知线段和角，我们可以把它们分别视为已知量、未知量，用方程的思想方法求解2. 比较的思想方法利用比较这一思想方法，分清易混概念和性质，加深对概
11、念性质的理解和认识例如平行线的性质是理解判定定理时最易混淆的，学习时，可通过比较其异同弄清它们的区别和联系3. 推理的方法推理是一个思维形式，它是从一个或几个判断得出新判断的思维形式推理时要时刻明确最终目标，最后推出结论，推理过程要步步有根据，不能“想当然” ，推理的根据，可以是已知条件、定义、性质、基本事实等【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一. 选择题1. 如图所示，下列说法中正确的是（ ）A. 图中没有同位角、内错角、同旁内角B. 图中没有同位角和内错角，但有一对同旁内角C. 图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角D. 图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角 ABC2. 一条公路
12、两次转弯后又回到原来的方向（即 ABCD，如图） ，如果第一次转弯时的B 140，那么，C 应是（ ）A. 140 B. 40 C. 100 D. 180140ABCD3. 如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 若 ABCD，则B A180B. 若 ADBC ，则BC180C. 若 ABCD，则BD180D. 若 ADBC，则B A 180 BCD4. 如图所示，要得到 DEBC，需要条件（ ）A. CDAB ，GFAB B. DCEDEC180C. EDCDCB D. BGF DCBABCDEFG5. 如图所示，ABAC，ADBC，DEAB，则CDE 与BAD 的关系是（ ）A. 互余 B.
13、 互补 C. 相等 D. 不能确定 ABCDE6. 如图所示，已知 ABCD，CE 平分ACD ，A110，则ECD 的度数等于（ ）A. 110 B. 70 C. 55 D. 35CBED*7. 两条平行线被第三条直线所截，角平分线互相垂直的是（ ）A. 内错角 B. 同旁内角 C. 同位角 D. 内错角或同位角*8. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）（4） ）：P(1)P(2)(3)P(4)从图中可知，小敏画平行线的依据有：（ ）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等
14、，两直线平行 （ ）A. B. C. D. 二. 填空题1. 如图所示，A、B 之间是一座山，一条铁路要通过 A、B 两地，在 A 地测得 B 地在北偏东 70，如果 A、B 两地同时开工修建铁路，那么在 B 地应按_方向开凿，才能使铁路在山腹中准确接通 A702. 如图所示，A、C、B 在同一直线上， DCCE 于 C，ACD53，则BCE_ ABCDE3. 如图所示，四边形 ABCD 中，12，D72，则BCD_ABCD12*4. 如图所示，ABCD、BEFD 是 AB、CD 之间的一条折线，则 1234_CDEF1345. 如图所示，ab，132，则1_，2_ ab12*6. 已知，如图
15、，AD 与 BC 相交于点 O，ABCD ，如果B20，D40，那么BOD 为_度 ACD7. 如图所示，若 AEBD，那么相等的角有 _；若 ABEC，那么互补的角有_ACDB1234567E*8. 设 a、b、c 为平面内三条不同的直线 （1）若 ab，ca，则 c 与 b 的位置关系是_；（2）若 ca，cb，则 a 与 b 的位置关系是_；（3）若 ab，则 c 与 b 的位置关系是_三. 解答题 1. 如图所示，已知 ABBC，BCCD，12，试判断 BE 与 CF 的关系，并说明理由ABCD12EF2. 如图所示，已知 ABCD，直线 EFCD 于 F，122，求2 的度数DEAB
16、G*3. 如图所示，已知 ABDE，ABC 60，CDE140，求BCD 的度数ACE4. 如图所示，小刚准备在 C 处牵牛到河边 AB 饮水（1）请用三角板作出小刚的最短路线（不考虑其他因素） ；（2）如图乙，若小刚在 C 处牵牛到河边 AB 饮水，并且必须到河边 D 处观察河水的水质情况，请作出小刚行走的最短路线（不写作法，保留作图痕迹） 甲ABC乙ABCD典型例题例 1 如图 245 是梯形的有上底的一部分，已知量得A=115，D=100 ，梯形另外两个角各是多少度？图 245分析：已知是梯形，可知它的上、下两底平行，要求另外两个角的度数，直接应用平行线的特征即可求出.解 ： 因 为 梯
17、 形 上 、 下 两 底 平 行 ， 所 以 ， A 与 B 互 补 ， D 与 C 互 补 ， 于 是 B=180 115=65,C=180 100=80 梯形的另外两个角分别是 65、80.例 2 已知，如图 246，直线 ab,cd,1=70 ,求2、3 的度数.图 246分析：这是平行线的特征的应用的计算题，要注意格式.解：ab(已知) ，2=1=70(两直线平行，内错角相等)cd(已知)，3=2=70(两直线平行，同位角相等)参考例题2.2.1 探索直线平行的条件(一)例 1若1=52，如图 218，问应使C 为多少度时，能使直线 ABCD？图 218分析：要使直线 ABCD，则需使
18、同位角相等，即1=C.这样即可求出.解：若1=52，当C =52时，直线 ABCD.例 2如图 219，若1=4，1+2=180 ，则 AB、CD、EF 的位置关系如何？图 219分析：由已知1=4，可知：ABEF，可猜想：ABCDEF .由图中可知：2+3=180 ,而已知：1+2=180 .由同角的补角相等可得1=3,这样得到 ABCD.由“两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行”可得：ABCDEF.解： EF| CD|ABAB41318023ABCDEF .二、参考练习1.如图 220，1=45，2=135，则 l1l 2 吗？为什么？解：平行.1+3=180,1=45 .3=135，又2=135 .2=3,因此 l1l 2.图 220 图 2212.如图 221，1=120，2=60，问直线 a 与 b 的关系？解：直线 a 与 b 平行.：2+3=180,2=60 ,3=120,又1=120.1=3，因此 ab.3.在三角形 ABC 中，B=90,D 在 AC 边上，DFBC 于 F，DEAB 于 E，则线段 AB 与 DF 平行吗？BC 与 DE 平行吗？为什么？图 222解：线段 AB 与 DF 平行.线段 BC 与 DE 也平行.：DFBC 于 F，则DFC=90，又B=90 ，B=DFC，因此 ABDF .BC 与 ED 平行的理由同上.
