1、第八章电磁感应 电磁场习题解答8 6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为，求在 时，线圈中的感应电动势5.01sin(Wb)t21.0st分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成 ，其中 称dNttN为磁链解 线圈中总的感应电动势 d2.51cos(0)tt当 时， 21.0st.51V8 7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以 的变化率增长若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所It示求线圈中的感应电动势分析 本题仍可用法拉第电
2、磁感应定律 来求解由于回路处在非均匀磁场中，dt磁通量就需用 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度=SdB1 与B 2 之和）为了积分的需要，建立如图所示的坐标系由于B 仅与x 有关，即 ，故取一个平()Bx行于长直导线的宽为x、长为d 的面元S，如图中阴影部分所示，则 ，所以，dS总磁通量可通过线积分求得（若取面元 ，则上述积分实际上为二重积分）本dySx题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 求解dMlEt解1 穿过面元S 的磁通量为 0012ddd()2=x BS+BS=因此穿过线圈的磁通量为 220003ddd()24dxxln再由法拉第电磁感应定律，有 03I=
3、d24dlntt解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 0324Iln线圈与两长直导线间的互感为 0324=dMlnI当电流以 变化时，线圈中的互感电动势为dIt 0d324Ilnt8 10 如图（）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由 求解外（必须设法dt构造一个闭合回路），还可直接用公式 求解()dlvBl在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元l 上的动生电动势 .在d()vBl一般情况下，上述各量可能是l
4、 所在位置的函数矢量（v B ）的方向就是导线中电势升高的方向解1 如图（）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距 形导轨左侧距离为x，则 21RxB=即 d2vtt由于静止的 形导轨上的电动势为零，则 2RvB式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高解2 建立如图（c）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元l，则 d()sin90codcsdvvBlBRl l=/2R由矢量（v B ）的指向可知，端点P 的电势较高解3 连接 OP 使导线构成一个闭合回路由于磁场是均匀的，
5、在任意时刻，穿过回路的磁通量 .由法拉第电磁感应定律 可知， 0=BS常 dt又因 OP PO即 OP PO 2RvB由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法8 12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO轴以角速度旋转，棒与转轴间夹角恒为，磁感强度 B 与转轴平行求OP 棒在图示位置处的电动势分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律 计算（此时必须构造一个dt包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO），
6、也可用来计算由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位()dlvBl置是相同的解1 由上分析，得 ()dOPvBlcoslin90)()l l(s2 201dsinLBlBi由矢量 的方向可知端点P 的电势较高()Bv解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路 OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量为零，则回路的总电动势 dOPQOt显然， QO 0，所以 21()OPQPB由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效后者是垂直切割的情况8 13 如图（）所示，金属杆AB 以匀速 平行于一长直导线移动，此导12.0msv线通有电流I 40A求
7、杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？分析 本题可用两种方法求解（1） 用公式 求解，建立图（a）所示的()dlEBlv坐标系，所取导体元 ，该处的磁感强度 （2） 用法拉第电磁感应定律dlx=0=Ix求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（）所示设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式 求得dSB穿过该回路的磁通量，再代入公式 ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电dt动势解1 根据分析，杆中的感应电动势为 1. 500()ddln13.840V2vmABIIElx=v=式中负号表示电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高解2
8、设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为x、长为y 的面元S，则穿过面元的磁通量为0dd2=IyxBS穿过回路的磁通量为 1.00dydln122mSIIx回路的电动势为 500=ln1=3.840VdvIItxt 由于静止的形导轨上电动势为零，所以 53.84AB式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高8 17 半径为R 2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率 为常量，dBt且为正值，试求：（1） 管内外由磁场变
9、化激发的感生电场分布；（2） 如，求距螺线管中心轴r 50 cm处感生电场的大小和方向10.Tsdt分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源变化的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率 等）密切相关，即 .在dBt kSSdtBEl一般情况下，求解感生电场的分布是困难的但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆（若电场线是其他类型的曲线则与其对称性特点不符），同一
10、圆周上各点的电场强度E k 的大小相等，方向沿圆周的切线方向图中虚线表示r R和r R 两个区域的电场线电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当 时，电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；0dt当 时，电场线绕向与前者相反0dBt解 如图所示，分别在r R 和r R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l（半径为r 的圆），依照右手定则，不妨设顺时针方向为回路正向（1） r R， 2kkddBdE2r=rttAl SrBtr R， 2kkrdRttl2kRdErt由于 ，故电场线的绕向为逆时针0dBt（2） 由于r R，所求点在螺线管外，因此 2kRdBErt将r、R、 的数值代入，可得
11、 ，式中负号表示E k的方向是逆时dBt 514.0Vmk针的8 18 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行如图（）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设 B 随时间的变化率 为常量试证：dBt棒上感应电动势的大小为分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由 计算棒kdAEl上感生电动势此外，还可连接OP、OQ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP、OQ 沿半
12、径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直，故 ，OP、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路0kdl=的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势证1 由法拉第电磁感应定律，有 2()PQdBdllSRtt=证2 由题 17可知，在r R 区域，感生电场强度的大小 krdBEt设PQ 上线元x 处，E k的方向如图（b）所示，则金属杆 PQ 上的电动势为2202(/)coslPQk RlrdBExdxtrdBllRt讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势？ 该如何求解？8 23 如图所示，一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A，放在
13、半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为50 A 1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向分析 设回路 中通有电流I 1 ，穿过回路的磁通量为 21 ，则互感M M 21 21I1 ；也可设回路通有电流I 2 ，穿过回路的磁通量为 12 ，则 21I虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同以本题为例，如设线圈B 中有电流 I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因
14、而穿过线圈A 的磁通量BS反之，如设线圈A 通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度 穿过小线圈002BINRA 的磁链近似为 002AABAINSSR则两线圈的互感为 60.810HAABMI （2） 43.10VAdIt互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同8 24 如图所示，两同轴单匝线圈A 、C 的半径分别为R 和r，两线圈相距为d若r很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的求两线圈的互感若线圈C 的匝数为N 匝，则互感
15、又为多少？解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈 C 所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为 203/()IRBd穿过线圈C 的磁通为 2203/()CISrRd则两线圈的互感为 203/()rMId若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍8 26 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共 1 000 匝线圈，总电阻为7.76 求：（1） 如把线圈接到电动势E 2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能 ，通常称为自感磁21mWLI能（2） 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即 ，式中 为磁场能量密度，积分遍mVwdm及磁场存在的空间由于 ，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的2Bw磁感强度B 的分布上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用
