1、定性理论与分支理论初步定性理论与分支理论初步一、基本概念一、基本概念二、相平面二、相平面三、按线性近似决定微分方程的稳三、按线性近似决定微分方程的稳定性定性3.线性问题是非线性问题的基础线性问题是非线性问题的基础 ,在一定条件在一定条件下，非线性问题在局部可以转化为线性问题下，非线性问题在局部可以转化为线性问题来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一个难题。个难题。2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。1.自然界绝大部分现象是非线性现象，非线自然界绝大部分现象是非线性现象，非线 性现象是一种非常复杂的现象。性现象是一
2、种非常复杂的现象。一、基本概念一、基本概念当微分方程组右端的函数不显含时间变量 t 时我们称它为自治微分方程组。从运动学的角度看，当点的位置确定时速度就随之确定，即速度场是与时间无关的恒定场；从几何的角度看，当点的位置确定时各点的切线方向就随之确定，即切向量场是与时间无关的恒定场。自治系统线的这些特点特点可以简化我们的问题。自治微分方程组例子例子一般二阶微分方程组的相关概念和性质一般二阶微分方程组的相关概念和性质积分曲线积分曲线 ： （ 4）式的一个解）式的一个解 ， 在在 三位空间决定的曲线成为（三位空间决定的曲线成为（ 4）式的）式的一条积分曲线。一条积分曲线。相平面相平面积分曲线积分曲线
3、基本事实基本事实 :不同的积分曲线是不相交的，否则不同的积分曲线是不相交的，否则，与解的存在唯一性矛盾。，与解的存在唯一性矛盾。相相 曲线曲线 (或称轨道或称轨道 ) :将将 视为参数视为参数 ,仅在仅在 二二维空间描述（维空间描述（ 4）式的解）式的解 所得的所得的曲线称为曲线称为 相曲线或轨道相曲线或轨道 .积分曲线积分曲线轨道轨道问题：积分曲线是不相交的，两条轨道相交吗？问题：积分曲线是不相交的，两条轨道相交吗？非非自治方程自治方程自治方程或自治方程或驻定方程组驻定方程组解：对非自治方程（解：对非自治方程（ 4）式来说，结论是否定的）式来说，结论是否定的，但对自治方程（，但对自治方程（ 5）式来说，结论是肯定的。）式来说，结论是肯定的。常常 点点 :（ 5）式右端函数）式右端函数 不同时为不同时为零的点。零的点。两个概念两个概念奇点奇点 (平衡点平衡点 )： （ 5）式右端函数）式右端函数 同时为零的点。同时为零的点。
