1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 文科数学 本试卷分为第 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 .第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 5 页 . 答卷前 ， 考生务必将自己的姓名 、 准考证 号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 .答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，
2、共 40 分 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 如果事件 A， B 相互独立， P(A B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B) 柱体的体积公式 V 柱体 =Sh， 圆锥的体积公式 V =31 Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示圆锥的高 h 表示棱柱的高 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）已知集合 3,2,1A ， ,12| AxxyyB ，则 AB=（ ） （ A） 3,1 （ B） 2,1 （ C） 3,2 （ D） 3,2,1 【答案】 A 【解析】 试题分析： 1, 3, 5
3、 , 1, 3B A B,选 A. 考点：集合运算 【名师点睛】 本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小 .一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏 . （ 2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 21 ，甲获胜的概率是 31 ，则甲不输的概率为 （ ） （ A） 65 （ B） 52 （ C） 61 （ D） 31 【答案】 A 考点：概率 【名师点睛】 概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题 .运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加
4、法 .对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法 .因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件 . （ 3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线 截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 （ ） 【答案】 B 【解析】 试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选 B 考点：三视图 【名师点睛】 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图 2三视图中 “ 正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽 ” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出
5、原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 （ 4）已知双曲线 )0,0(12222 babyax 的焦距为 52 ，且双曲线的一条渐近线与直线 02 yx 垂直，则双曲线的方程为 （ ） （ A） 14 22 yx（ B） 1422 yx （ C） 153203 22 yx （ D） 120353 22 yx【答案】 A 【解析】 来源 :学优高考网 gkstk 试题分析：由题意得 2215 , 2 , 1 12 4 1b x yc a ba ，选 A. 考点：双曲线渐 近线 【名师点睛】 求双曲线的标准方程关注点： 来源 :gkstk.Com (1)确定双曲线的标准方程也需要一个 “
6、 定位 ” 条件，两个 “ 定量 ” 条件， “ 定位 ” 是指确定焦点在哪条坐标轴上， “ 定量 ” 是指确定 a， b 的值，常用待定系数法 (2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论 若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2 By2 1(AB 0) 若已知渐近线方程为 mx ny 0，则双曲线方程可设为 m2x2 n2y2 ( 0) （ 5）设 0x ， Ry ，则 “ yx ” 是 “ |yx ” 的 （ ） （ A） 充要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 试题分析：
7、3 4,3 | 4| ,所以充分性不成立； |x y y x y ，必要性成立，故选 C 考点：充要关系 【名师点睛】 充分、必 要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断 “ 若 p 则 q” 、 “ 若 q 则 p” 的真假并注意和图示相结合，例如 “ p q” 为真，则 p是 q 的充分条件 2等价法：利用 p q 与 非 q 非 p， q p 与 非 p 非 q， p q 与 非 q 非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法：若 A B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A B，则 A是 B的充要条件 （ 6）已知 )(xf 是定
8、义在 R 上的偶函数，且在区间 )0,( 上单调递增，若实数 a 满足 )2()2( |1| ff a ，则 a 的取值范围是 （ ） （ A） )21,( （ B） ),23()21,( （ C） )23,21( （ D） ),23( 【答案】 C 考点：利用函数性质解不等式 【名师点睛】 不等式中的数形结合问题，在解题时 既要想形又要以形助数，常见的 “ 以形助数 ” 的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效 (2)借助函数图象 性质 ，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义
9、实现 “ 数 ” 向 “ 形 ” 的转化 来源 :学优高考网 gkstk （ 7）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 ED, 分别是边 BCAB, 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 EFDE 2 ，则 BCAF 的值为 （ ） （ A） 85 （ B） 81 （ C） 41 （ D） 811【答案】 B 【解析】 试题分析：设 BA a ， BC b ， 11()22D E AC b a ， 33()24D F D E b a ， 1 3 5 3()2 4 4 4A F A D D F a b a a b ， 25 3 5 3 14 4 8 4 8A F B C a b b
10、 ，故选 B. 考点：向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简 . 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言 “ 坐标语言 ” ，实质是 “ 形 ” 化为 “ 数 ” 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来 （ 8）已知函数 )0(21s in212s in)( 2 xxxf ， Rx .若 )(xf 在区间 )2,( 内没有零点，则 的取值范围是 （ ） （ A） 81,0( （ B） )1,8541,0(
11、 （ C） 85,0( （ D） 85,4181,0( 【答案】 D 考点：解简单三角方程 【名师点睛】 对于三角函数来说，常常是先化为 y Asin(x ) k 的形式，再利用三角函数的 性质 求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式 第 卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2、本卷共 12小题，共计 110 分 . 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 . （ 9） i 是虚数单位，复数 z 满足 (1 ) 2iz，则
12、z 的实部为 _. 【答案】 1 【解析】 试题分析： 2(1 ) 2 11i z z ii ，所以 z 的实部为 1 考点：复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题 .首先对 于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , , . ) ，a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R 22( ) ( ) , ( , , . ) ，a b i a c b d b c a d i a b c d Rc d i c d. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 ( , )a b a b R
13、的实部为 a 、虚部为 b 、模为 22ab、共轭为 .a bi （ 10）已知函数 ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x 为 ()fx的导函数，则 (0)f 的值为 _. 【答案】 3 【解析】 试题分析： ( ) ( 2 + 3 ) , ( 0 ) 3 .xf x x e f 考点：导数 【名师点睛】 求函数的导数的方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导； 来源 :学优高考网 (3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系， 由外向内逐层求导； (5)不能直接求
14、导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导 （ 11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 _. 【答案】 4 【解析】 试题分析： 第一次循环： 8,n 2S；第二次循环： 2,n 3S；第三次循环： 4,n 4S；结束循环，输出 4.S 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 .先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 . （ 12）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 (0, 5)M 在圆 C
15、 上，且圆心到直线 20xy 的距离为 455，则圆 C 的方程为 _. 【答案】 22( 2) 9.xy 【解析】 试题分析： 设 ( ,0),( 0)C a a ，则 2| 2 | 4 5 2 , 2 5 355a ar ，故圆 C 的方程为 22( 2) 9.xy 考点：直线与圆位置关系 【名师点睛】 求圆的方程有两种方法： (1)代数法：即用 “ 待定系数法 ” 求圆的方程 若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于 a， b， r 的方程组求解 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的 一般方程，列出关于 D， E， F 的方程组求解 (2)几何法：通过研究圆
16、的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程 （ 13）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E， BE=2AE=2， BD=ED，则线段 CE的长为 _. 【答案】 233 【解析】 试题分析： 设 CE x ，则由相交弦定理得 DE CE AE BE ， 2DEx ，又 2BD DE x，所以1AC AE，因为 AB 是直径，则 223 1 2 2BC ， 249AD x，在圆中 BCE DAE: ，则 BC ECAD AE ，即222149xx，解得 233x考点： 相交弦定理 【名师点睛】 1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交
17、弦、切割线定理及其推论； (2)当比例式 (等积式 )中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为 “ 相似三角形 比例式 等积式 ” 在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握 2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等 (14) 已知函数 2 ( 4 3 ) 3 , 0( ) ( 0 1 )l o g ( 1 ) 1 , 0ax a x a xf x a axx 且在 R 上单调递减， 且关于 x 的方程| ( )| 2 3xfx 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 _. 【答案】
18、 12 , )33考点：函数综合 【名师点睛】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 三 、 解答 题：本大题共 6 小题，共 80 分 . （ 15）（本小题满分 13 分） 在 ABC 中，内角 CBA , 所对应的边分别为 a,b,c，已知 sin 2 3 sina B b A . () 求 B； () 若 1cosA 3 ，求 sinC 的值
19、 . 【答案】（） 6B （） 2 6 16【解析】 试题分析：（）利用正弦定理，将边化为角： 2 s i n s i n c o s 3 s i n B s i nA B B A,再根据三角形内角范围化简得 23cos B ， 6B （）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为 ，将所求角化为两已知角的和 )s in ()(s in s in BABAC ，再根据两角和的正弦公式求解 试题解析：（）解：在 ABC 中，由 BbAa sinsin ，可得 AbBa sinsin ，又由 AbBa s in32s in 得BaAbBBa s in3s in3c o ss in2 ，所以
20、 23cos B ，得 6B ； （）解：由 31cos A 得 322sin A ，则 )s in ()(s in s in BABAC ，所以)6sin(sin AC 6 162c o s21s in23 AA 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换 .角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证 . (16) (本小
21、题满分 13 分 ) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A,B,C 三种主要原料 .生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种 原料的吨数如下表所示： 现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料 .已知生产 1车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元 .分别用 x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数 . () 用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； () 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润 . 【答案】（）详见解析（）生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 ( 1 )3 x + 10 y = 3004 x + 5 y = 2008 x + 5 y = 3601010yxO
