1、1第 11 章 无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1） 1n解： ，故原级数收敛。11nkSn（2） 1n解： ，故原级数发散。11nkSnn2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 21n解： ，而级数 收敛，故原级数收敛。32lim1n312n（2） 31n解： ，而级数 发散，故原级数发散。23lim1n1n（3） 12si5n解： ，而级数 收敛，故原级数收敛。ilim125n125n2（4）21ln解： ，而级数 收敛，故原级数收敛。221limn21n（利用极限 ，或 ）1linne0lim1x（5） 1ln解： ，而级数 发散，故原级数发
2、散。l1n3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 2n解： ，故原级数收敛。112limli2nnn（2） 15!n解： ，故原级数发散。1!15lim5lin nnnn e（3） 21!n解： ，故原级数收敛。222!1limli 14!nnn（4） 21arct3nn3解： ，故原级数收敛。 （利用极限 ）21arctn3limn0arctnlim1x4、用根值审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 23nn解： ，故原级数收敛。2limli13nn（2） l1na解： ，故原级数收敛。lnl 1ii2na（3） 12n解： ，故原级数收敛。1lim2n5、判别下列级数是否收敛，若收
3、敛，是绝对收敛还是条件收敛： （1） 1lnn解： ，且 ，故原级数为 Leibniz 型ll1n1limn0交错级数。但因 ，而 发散，故 发散。因此，原limn1n1ln级数条件收敛。（2） 13cosn解： ， ，且 ，故原级数2inun1nu23limlisn0nu4为 Leibniz 型交错级数。但因 ，而 收敛，故 收223sin9lm121n213sin敛。因此，原级数绝对收敛。（3） （即 ）1cosn1n解： ，且 ，故原级数为 Leibniz 型交错级数。但因 发散，故lim0n 1n原级数条件收敛。（4） 1ln解：考察函数 ，因 时， ，故函lxf2e1ln2xfxl0
4、数 在 上单调下降。由此可知，当 时， ，且易知fx2,e8nl1n，故原级数为 Leibniz 型交错级数。但因 ，而 发散，故lnim0 lim1n1n发散。因此，原级数条件收敛。1ln6、求下列幂级数的收敛区间： （1） 2041nnx解： ，故得 。 时，级数为2241limli41nn1Rx； 时，级数为 ，上述级数均收敛，故原幂级数的收敛区间为2014nx201nn5。1, （2） 01nnx解： ，故得 。 时，级数为121limli2nn2Rx，此系 Leibniz 型交错级数； 时，级数为 ，此系调和级数。故原01nx01n幂级数的收敛区间为 。2,（3） 01nnx解：原幂
5、级数即为 ，此为缺项幂级数。因201nnn，22lim1nnnx故由 ，得 。 时，级数均成为 ，发散。故原幂级2x2Rx01n数的收敛区间为 。1,（4） 123nnx解： ，故得 。 时，级数为 ，发散； 时，lim12nR1x12n2x级数为 ，系 Leibniz 型交错级数。故原幂级数的收敛区间为 。01n ,（5）21!nx6解： ，故得 ，原幂级数的收敛区间为 。221!lim0nR,7、利用逐项求导或逐项积分求下列幂级数的和函数： （1） nx解： ，故得 。 时，相应的级数均发散（一般项不趋于零）1limn1Rx。故幂级数的收敛区间为 。设 ，则, 11nnSxTx，01xnx
6、Td 2dT故得 ， 。2Sx1, （2）21nx解： ，故得 。 时，相应的级数均发散。故幂级数的23lim1nnx1Rx收敛区间为 。, 设 ，则当 时，有 。当 时，21nxS0x0Sx，21nTx但 ，故得 ，于212nndxT 201lnxxTd是得， 。11ln2xSxT1, , 因此，所求幂级数之和函数为711ln 1,020 xTxxS（3） 21nnx解： ，故得 。 时，相应的级数为 ，21limn1Rx21n因 ，而 发散，故 发散。 时，相应的级数为21lin1n21n，为 Leibniz 型交错级数。故幂级数的收敛区间为 。22n1, 设 ，则当22 2211n nn
7、nnSxxxxx时，有 。当 时，00112221nnnnxxS Sxx其中 ， 。因112n122nnS，21nSxx222nx故得，10ln1xSdx2 220 1ln1xSdx于是 12ll2242xxxx因此，所求幂级数之和函数为 1lnln 1,0240 xxxS 88、将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） 222 0 0111coscos2!nnn nxx（ ）（2） （ ）13031!nnxexx x（3） 1 1ln5ll5ln5n n（ ）x（4） 2161656xxx16（ ）00nnn1x（5） 32 31ln1lll1xxx1331 11nnn
8、nn x234562xxx（ ）323131nnn 1x（6） 2arctlxx解：设 ，则2rtanl1f22carctnx xx （ ）146221nf 1x（ ）3571arctnnxfxx 9 24621arctnl135nnxxxfxx （ ）（7）xde解： ， 1!xn122!xnndedxxx（8） 0lx解： ， 11lnnnxx120l nxnxd1x9、将下列函数展开成 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） 1l nnxx02x（2） 113223xx1111 12233n nn nxx（ ）11nnn10、求级数 的和。 2nn解：先求幂级数 的和函数。易知其收敛区间为 。设21nnx1,2nSx1则102 221111nnnnSxxxx当 时，0 112221nnnnxxS Sxx其中 ， 。因112n122nnS，21nSxx222nx故得，10ln1xSdx2 220 1ln1xSdx于是 12ll2242xSxxx1,0x所求级数的和即为 。53ln8411、设 ，试将 展成 x 的幂级数，并求级数21arct 0 xxff之和。214nn解：当 时，0x2 211arctnnnxfx2211nnfx 22112nnnxx2211nnnn
