1、第一章习题答案 1. 设总量函数为 A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数 a(t) 和第 n 个时段的利息 In 。 解 : 把 t = 0 代入得 A(0) = 3 于是 : a(t) = A(t) A(0) = t2 + 2t + 3 3 In = A(n) A(n 1) = (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3) = 2n + 1 2. 对以下两种情况计算从 t 时刻到 n(t B(t) 2t 1 + t2 2 1 + t t 1 21已知季结算名贴现率为 8%，分别对以下两种情况计算 25个月底的 5000元在当 前的现值：全部采用复贴现
2、；在最后的不足年份内采用单贴现。 解： d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为 d，单利下实利率为 d0。 全部采用复利： (1 d)3 = 1 8% 2 第 7 页 PV = 5000(1 d)25 = 4225.25 前两年用复利： 1 3d0 = 1 8% 2 PV = 5000(1 d)24(1 d0) = 4225.46 22为了在第 4年底收益 2000元、 10年底收益 5000元，当前选择这样的投资：前两 年每年初投入 2000元、第 3年初再投入一部分。已知季结算名利率 6%，计算第 3年 初投入的金额。 (原来的答案有误 ) 解： i(4) = 6% ，则 i = (1
3、+ 6% 4 )4 1 = 6.14% 设第 3年初投入 X,以第 3年初为比较日，列价值方程 2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8 解得 X = 504.67 元 23在一定的利率下，下面两种付款方式等价： 1第 5年底支付 200元，第 10年底 支付 500元； 2第 5年底一次性支付 400.94元。另外，以同样的利率现在投资 100元 再加上第 5年底投资 120元，这些投资在第 10年底的终值为 P。试计算 P。 解： 对两种付款方式，以第 5年为比较日，列价值方程： 200 + 500v5 = 400.94 解得 v5
4、= 0.40188 所以 P = 100(1 + i)10 + 120(1 + i)5 = 917.762 24经过多少时间 1000元以利率 6%累积的终值是利率 4%累积终值的两倍？ 解： 1000(1 + 6%)t = 2 1000(1 + 4%)t 解得： t = 36 年 25已知年利率为 8%，且第 n年底和 2n年底投入 100元的现值之和为 100元，计 算 n。 第 8 页 解： 列价值方程为 100vn + 100v2n = 100 解得 n = 6.25 26基金 A以月换算名利率 12%累积；基金 B以利息力 t = t 6 累积，初始时刻两基 金本金相同，计算两基金累
5、积额相同的下一个时刻。 解： t = 1 6 t，得基金 B的积累函数为 aB(t) = exp( t 0 sds) = exp( t2 12 ) 欲使 aA(t) = aB(t) 则 (1 + 1 12 i(12)12t = exp( t2 12 ) 解得 t = 1.4 27.计算 1000元在第 15年底的终值为 3000元的半年换算名利率。 解： 1000(1 + i)15 = 3000 则 i(2) = (1 + i) 1 2 1) 2 = 7.46% 28已知现金流：当前投入 300元、第 1年底投入 200元和第 2年底投入 100元，在 第 2年底的终值为 700元。计算实利率
6、。 解： 列价值方程为 300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700 解得 i = 11.96% 29已知货币的价值以利息力 t = kt积累，在十年内增长了一倍，计算 k。 (原来 的答案有误 ) 解： t = kt 则积累函数为 a(t) = exp t 0 ksds = exp( k 2 t2) 由 a(10) = 2 得 e50k = 2 解得 k = 0.0139 第 9 页 30已知一个货币单位的本金以实利率 i累积到第三年底的终值再加上第 3年底的 一个货币单位的资本以实贴现率 i 贴现的的现值之和为 2.0096，计算 i。 解： (1 + i)3
7、+ (1 i)3 = 2.0096 解得 i = 0.04 31. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利 息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。 解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入 j，第二个计息期内的利息收 入 j + j2,故 差为 j2,即第一期利息产生的利息。 32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式： A）现在付款 15元， 6个月后付款 13.65元 B现在一次性付款 28元。 如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。 (将原题中的 16元改成 13.65元，这 样结果更加符合实际 ) 解： 设半年实利率为 i 0，则有： 15(1 + i 0 ) + 13.65 = 28(1 + i 0 )
