1、2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 1 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为 5105.0 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算） 解 ： 2* 103400.0 x ， 325* 10211021 xx 故具有 3 位有效数字。 2 14159.3 具有 4 位有效数字的近 似值是多少？（有效数字的计算） 解 ： 10314159.0 ，欲使其近似值 * 具有 4 位有效数字，必需 41* 1021 ， 3*3 10211021 ，即 1 4 2 0 9.3
2、1 4 1 0 9.3 * 3 已知 2031.1a ， 978.0b 是经过四舍五入后得到的近似值，问 ba ， ba 有几位有效数字？（有效数字的计算） 解 ： 3* 1021 aa ， 2* 1021 bb ，而 1811.2ba ， 1766.1ba 2123* 102110211021)()( bbaababa 故 ba 至少具有 2 位有效数字。 2123* 10210 0 6 5.01022 0 3 1.11029 7 8.0)()( bbaaabbaab故 ba 至少具有 2 位有效数字。 4 设 0x ， x 的相对误差为 ，求 xln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解
3、： 已知 *xxx ，则误差为 *lnln x xxxx 则相对误差为 *lnln1lnlnlnxxxxxxxx 5 测 得 某 圆 柱体 高 度 h 的值为 cmh 20* ，底面半径 r 的值为 cmr 5* ，已知cmhh 2.0| * ， cmrr 1.0| * ，求圆柱体体积 hrv 2 的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 解： *2* 2),(),( hhrrrhrrhvrhv 绝对误差限为 252.051.02052)5,20(),( 2 vrhv 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 2 相对误差限为 %420120525)5,20( )5,20(
4、),( 2 v vrhv6 设 x 的相对误差为 %a ,求 nxy 的相对误差。（函数误差的计算） 解 ： %* axxx ， )%(* naxxxnxxxyyynnn 7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为 %1 ，问度量半径 r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解 ： 球体积为 334)( rrv ， 3* 34)( rrv 欲使 %13344)()()(*3*2*rrrrrrrrvrvrv，必须 %31* rrr 。 8 设 101 dxexeI xnn ，求证： （ 1） )2,1,0(1 1 nnII nn （ 2）利用（ 1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；
5、反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 解 ：11011101101101 11 nxnxnxnxnn nIdxexnedxexnexedexeI 111010 1)1( eeedxeeI x 如果初始误差为 *000 II ，若是向前递推，有 0221* 11* !)1()1()1()1()1( nnnnnInIII nnnnnnnn 可见，初始误差 0 的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推nn InnI 111 ，其误差为 nnnII !)1(21 1)1(11)1111()1111(221*110 可见，初始误差 n 的绝对值被逐步减少了。 2008 信息与计算科学专业计
6、算方法习题参考解答 江世宏编 3 第二章 插值法 姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知 1)2(,1)1(,2)1( fff ，求 )(xf 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法） ：设 cbxaxxL 2)( ，由插值条件，有 12412cbacbacba 解得： 3/4,2/1,6/1 cba 。 故 342161)( 2 xxxL。 解法二（基函 数法） ：由插值条件，有 1)12)(12( )1)(1(1)21)(11( )2)(1(2)21)(11( )2)(1()( xxx
7、xxxxL )1)(1(31)2)(1(21)2)(1(31 xxxxxx 342161 2 xx 2 已知 9,4, 10 xxxy ， 用线性插值求 7 的近似值。 （拉格朗日线性插值） 解 ：由插值节点与被插函数，可知， 240 y ， 391 y ，其线性插值函数为 5651349 4294 9)( xxxxL 7 的近似值为 6.25135657)7( L 。 3 若 ),.1,0( njxj 为互异节点，且有 )()()( )()()()( 1110 1110 njjjjjjj njjj xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxl 试证明 ), . . .1,0()(0 nkx
8、xlxnjkjkj 。（ 拉格朗日插值基函数的性质） 解 ： 考虑辅助函数 njkjkj xxlxxF0 )()(，其中， nk0 ， ),( x 。 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 4 )(xF 是次数不超过 n 的多项式，在节点 ixx （ ni0 ）处，有 0)()()( 0 kikikiiikinj kiijkji xxxxlxxxlxxF 这表明， )(xF 有 n+1 个互异实根。 故 0)( xF ，从而 njkjkj xxlx0 )(对于任意的 nk0 均成立。 4 已知 352274.036.0s i n,333487.034.0s i n,314
9、567.032.0s i n ，用抛物线插值计算 3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解 ： 由插值条件，其抛物线插值函数为 3 1 4 5 6 7.0)36.032.0)(34.032.0( )36.0)(34.0()( xxxL 3 3 3 4 8 7.0)36.034.0)(32.034.0( )36.0)(32.0( xx 3 5 2 2 7 4.0)34.036.0)(32.036.0( )34.0)(32.0( xx 将 3367.0x 代入，计算可得： 3304.0)3367.0( L 。 其余项为： )36.0)(34.0)(32.0(!3s in)(
10、 xxxxr 其中， 36.032.0 )36.0)(34.0)(32.0(61)( xxxxr 故误差的上界为： 71014.2)36.03 3 6 7.0)(34.03 3 6 7.0)(32.03 3 6 7.0(61)3 3 6 7.0( r 。 5 用余弦函数 xcos 在 00x ， 41 x， 22 x三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式 , 并近似计算 6cos 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 解 ： 由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为 0)4/2/)(02/( )4/)(0(21)2/4/)(04/( )2/)(0(1)2/0)(
11、4/0( )2/)(4/()( xxxxxxxL 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 5 22 )2/(28)2/)(4/(8 xxxx8 5 0 8.09 242)2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6( 22 L 绝对误差为： 0153.018 284399 2422 3)6(6c o s L相对误差为： 0 1 7 9.028428439)6()6(6c o s LL余项为： )2/)(4/(!3s in)( xxxxr ，其中， 2/0 其余项的上界为： )2/)(4/(61)( xxxxr 0 2 3 9.06)26)(46(661)6( 43 r
12、比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。 6 已知函数值 2 1 2)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0( fffff ，求函数的四阶均差6,4,3,1,0f 和二阶均差 3,1,4f 。（均差的计算） 解 ： 采用列表法来计算各阶均差，有 x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6 1 10 4 3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 从表中可查得： 1516,4,3,1,0 f 。 x y 一阶均差 二阶均差 4 82 1 10 72/3 3 46 18 6 故 63,1,4
13、f 。其实，根据均差的对称性， 64,3,13,1,4 ff ，该值在第一个表中就可以查到。 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 6 7 设 )()()( 10 nxxxxxxxf 求 1,0 pxxxf 之值，其中 1np ，而节点)1,1,0( nixi 互异。（均差的计算） 解 ： 由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 pi pipiiiiiii ip xxxxxxxxxxxx xfxxxf 0 111101,0 )()()( )( 而 0)( ixf pi0 ，故 0 1,0 pxxxf 。 8 如下函数值表 x 0 1 2 4 )(xf 1 9 23 3 建
14、立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解 ： 先构造均差表 x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1 1 9 8 2 23 14 3 4 3 -10 -8 -11/4 故 )2)(1(411)1(381)( xxxxxxxN 。 9 求一个次数小于等于三次多项式 )(xp ，满足如下插值条件： 2)1( p ， 4)2( p ，3)2( p ， 12)3( p 。（插值多项式的构造） 解法一（待定 系数法） ： 设 dcxbxaxxp 23)( ，则 cbxaxxp 23)( 2 ，由插值条件，有 123927341242482dcbacbadcbadcba解得：
15、6,15,9,2 dcba 。 故 61592)( 23 xxxxp 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 7 解法二（带重节点的均差法） ： 据插值条件，造差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2 2 4 2 2 4 3 1 3 12 8 5 2 故 61592)2)(1(2)2)(1()1(22)( 232 xxxxxxxxxp 10 构造一个三次多项式 )(xH ，使它满足条件 1)1(,1)2(,0)1(,1)0( HHHH （埃尔米特插值）。 解 ： 设 dcxbxaxxH 23)( ， cbxaxxH 23)( 2 利用插值条件，有 1231248
16、01cbadcbadcbad解得： 1,4,4,1 dcba 。 144)( 23 xxxxH 11 设 4/9,1,4/1,)( 21023 xxxxxf 。 (1)试求 )(xf 在 4/9,4/1 上的三次 埃尔米特 插值多项式 )(xH ， 使 得 )()(,2,1,0),()( 11 xfxHjxfxH jj ， )(xH 以升幂形式给出。 (2)写出余项 )()()( xHxfxR 的 表达式。（ 埃尔米特插值及其余项的计算）。 解 ： 81)41( f ， 1)1( f ， 827)49( f ， 2123)( xxf ， 23)1( f 设 dcxbxaxxH 23)( ， c
17、bxaxxH 23)( 2 2323827491681647 2 918141161641cbadcbadcbadcba解得： 22514a ， 450263b ， 450233c ， 251d 。 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 8 故 2514 5 02 3 34 5 02 6 32 2 514)( 23 xxxxH 。 )49()1)(41(1 2 83)( 225 xxxxR ，其中， 4941 。 12 若 0)()(,)( 2 bfafbacxf ，试证明： |)( |m a x81|)( |m a x 2 xfabxf bxabxa （插值余项的应用）
18、 解 ： 以 0)()( bfaf 为插值条件，作线性插值多项式，有 0)()()( bfab axafba bxxL 其余项为 )(!2 )()()()()( bxaxfxfxLxfxR 故 )(m a x)(81)2)(2()(m a x21)(m a x 2 xfabbababaxfxfbxabxabxa 。 13 设 ,2)2(,1)0(,1)2( fff 求 (xp 使 )2,1,0()()( ixfxp ii ； 又设 Mxf |)(| ，则估计余项 )()()( xpxfxr 的大小。（插值误差的估计） 解： 由插值条件，有 2241124cbaccba 解得：14/38/1cb
19、a 从而 14381)( 2 xxxp 其余项为 )2,2()2()2(!3 )()()()( xxxfxpxfxr MMxxMxr 27 3839166)4(6)( 3 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 9 第三章 函数逼近 姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设 xxf sin)( ，求 )(xf 于 1,0 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解 ： ,1span x 1),( 1011 dx ， 21),( 1021 xdx ， 31),( 10222 dxx 2s in),(101 xd xf ， 1
20、s i n1c o ss i n),( 102102 xxxx d xxf 法方程组为 123121 21121aa 解得： 21a， 02a 线性最佳平方逼近多项式为： 2* 。 2 令 11,)( xexf x ，且设 xaaxp 10)( ,求 10,aa 使得 )(xp 为 )(xf 于 1,1 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解 ： ,1span x 2),( 1111 dx ， 0),( 1121 xdx ， 32),( 11222 dxx 1111),( eedxef x ， 11122),( edxxef x 法方程组为 1 121 2320 02 eeeaa 解得：
21、 )(21 11 eea， 312ea 线性最佳平方逼近多项式为： xeeexp 32)( 11 。 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 10 3 证明：切比雪夫多项式序列 )a rc c o sc o s ()( xkxT k 在区间 1,1 上带权 21/1)( xx 正交。（正交多项式的证明） 解 ： 对于 kl ，有 dxxkxlxTT kl )a r c c o sc o s ()a r c c o sc o s (1 1),( 11 2 00 2 )c o s ()c o s ()s i n)(c o s ()c o s (c o s1 1 dtktltdt
22、tktltt 0 )c o s () c o s (21 dttkltkl 0)s in (1)s in (121 0 tklkltklkl 对于 kl ，有 dxxkxTT kk )a r c c o s(c o s1 1),( 211 2 0 220 2 )(c o s)s i n)(c o sc o s1 1 dtktdttktt 2)2s i n (2121)2c o s (121 00 tkktdttk故，序列 )( xTk 在 -1， 1上带权211)( xx 正交。 4 求矛盾方程组：2423212121xxxxxx的最小二乘解。（最小二乘法） 解法一 ： 求 1x 与 2x ，使得 22122122121 )2()42()3(),( xxxxxxxxf 达到最小。于是，令 0)2(2)42(2)3(2 2121211 xxxxxxxf
