1、 1 材料力学 复习重点归纳和 试题答案 材料力学重点及其公式 1、 材料力学的任务： 强度、刚度和稳定性； 应力 单位面积上的内力。 平均应力 AFpm （ 1.1） 全应力dAdFAFpp AmA 00 limlim（ 1.2） 正应力 垂直于截面的应力分量，用符号 表示。 切应力 相切于截面的应力分量，用符号 表示。 应力的量 纲： G P aM P a)m/N(Pa 2 、国际单位制： 22 cm/kgfm/kgf 、工程单位制： 线应变 单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。 外力偶矩 传动轴所受的 外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速 n
2、与传递的功率 P 来计算。 当功率 P 单位为千瓦（ kW），转速为 n（ r/min）时，外力偶矩为 m).(N9549e nPM 当功率 P 单位为马力（ PS），转速为 n（ r/min）时，外力偶矩为 m).(N7024e nPM 拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力 ，且为平均分布，其计算公式为 NFA(3-1) 式中 NF为该横截面的轴力， A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负 。 公式（ 3-1）的适用条件： （ 1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （ 2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （ 3）杆件上有孔洞
3、 或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （ 4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角 020 时 拉压杆件任意斜截面（ a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cosp (3-2) 正应力 2cos （ 3-3） 切应力 1sin22（ 3-4） 式中 为 横截面上的应力。 正负号规定： 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的 为正，反之为负。 两点结论： （ 1）当 0 时，即横截面上， 达到最大值，即 max 。当 = 090时，即纵截面上， q=F/a F22 112F
4、a a a= 090=0。 （ 2）当 045 时，即与杆轴成 045的斜截面上， 达到最大值，即max()2 1 2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （ 1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图 3-2。 图 3-2 轴向变形 1l l l 轴向线应变 ll 横向变形 1b b b 横向线应变 bb 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （ 2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E （ 3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 NFll EA(3-6) 式中 EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能
5、力的量。 图1.22 公式 (3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性 范围内工作，即 p ； (b)在计算 l时， l 长度内其 N、 E、 A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 1n iii iiNll EA(3-7) (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 (3-8) 表 1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段 阶 段 图 1-5 中线段 特征点 说 明 弹性阶段 oab 比例极限p 弹性极限 e p 为应力与应变成正比的最高应力 e 为不产生残余变形的最高应力 屈服阶段 bc 屈服极限s s 为应力变化不大而变形显著增
6、加时的最低应力 强化阶段 ce 抗拉强度b b 为材料在断裂前所能承受的最大名义应力 局部形变阶段 ef 产生颈缩现象到试件断裂 表 1-2 主要性能指标 性能 性能指标 说明 弹性性能 弹性模量 E 当p E 时 ，强度性能 屈服极限s 材料出现显著的塑性变形 抗拉强度 b 材料的最大承载能力 塑性性能 延伸率 1 100%lll 材料拉断时的塑性变形程度 截面收缩率1 100%AAA 材料的塑性变形程度 强度计算 许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 =ssn； 脆性材料 =bbn其中 ,sbnn称为安全系数，且大于 1。 强度条件：构件工作时的
7、最大工作应力不得超过材料的许用应力。 对轴向拉伸（压缩）杆件 NA （ 3-9） 按式（ 1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。 2.1 切应力互等定理 受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力 总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。 2.2 纯剪切 单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。 2.3 切应变 切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用 表示。 2.4 剪切胡克定律 在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即 G (3-10) 式中 G 为材
8、料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量 E 及泊松比 ） ,其数值由实验决定。 对各向同性材料 ,E、 、 G 有下列关系 2(1 )EG (3-11) 2.5.2 切应力计算公式 横截面上某一点切应力大小为 p pTI(3-12) 式中 pI 为该截面对圆心的极惯性矩， 为欲求的点至圆心的距离。 圆截面周边上的切应力为 max tTW (3-13) 3 式中pt IWR称为扭转截面系数， R 为圆截面半径。 2.5.3 切应力公式讨论 （ 1） 切应力公式（ 3-12）和式（ 3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦
9、可近似应用，其误差在工程允许范围内。 （ 2） 极惯性矩 pI 和扭转截面系数 tW 是截面几何特征量，计算公式见表 3-3。在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。 表 3-3 实心圆 （外径为 d） 432p dI 316t dW 空心圆 （外径为 D， 内径为 d） 4 4(1 )32p DIada D 4 4(1 )16t DWa2.5.4 强度条件 圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强度条件为 max maxtTW(3-14) 对等圆截面直杆 （ 3-15）式中 为材料
10、的许用切应力。 3.1.1 中性层的曲率与弯矩的关系 1zMEI(3-16) 式中， 是变形后梁轴线的曲率半径； E 是材料的弹性模量； EI 是横截面对中性轴 Z 轴的惯性矩。 3.1.2 横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMyI(3-17) 式中， M 是横截面上的弯矩； ZI 的意义同上； y 是欲求正应力的点到中性轴的距离 最大正应力出现在距中性轴最远点处 max maxmax maxzzMMyIW （ 3-18） 式中，maxzz IW y称为抗弯截面系数。对于 hb 的矩形截面，216zW bh；对于直径为 D 的圆形截面，332zWD；对于内外径之比为 daD的环形截面，34(1
11、 )32zW D a。 若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。 3.2 梁的正应力强度条件 梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 maxmax zMW（ 3-19） 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如 T 字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为 maxmax 1ltzM yI （ 3-20a） maxmax 2yczM yI （ 3-20b） 式中， ,tc分别是材料的容许拉应力和容许压应力； 12,yy分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。 3.3 梁的切应力
12、zzQSIb （ 3-21） 式中， Q 是横截面上的剪力； zS 是距中性轴为 y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩； zI 是整个横截面对中性轴的惯性矩； b 是距中性轴为 y 处的横截面宽度。 3.3.1 矩形截面梁 切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。 切应力计算公式 2 236 4Qhybh （ 3-22） 最大切应力发生在中性轴各点处，max 32QA 。 4 3.3.2 工字形截面梁 切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的 9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。 切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 22 2 28 2 4z
13、Q B b hH h yIb (3-23) 近似计算腹板上的最大切应力： dhFs1maxd 为腹板宽度 h1 为上下两翼缘内侧距 3.3.3 圆形截面梁 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。 最大切应力发生在中性轴上，其大小为 2m ax 42 483364zzddQQS QdI b Ad （ 3-25） 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。 3.4 切应力强度条件 梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 max maxmax zzQSIb(3-26) 式中， maxQ 是梁上的最大切应力值； maxzS 是中性轴一侧面积对中性轴的
14、静矩； zI 是横截面对中性轴的惯性矩； b 是 max 处截面的宽度。对于等宽度截面， max 发生在中性轴上，对于宽度变化的截面， max 不一定发生在中性轴上。 4.2 剪切的实用计算 名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 AQ（ 3-27） 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力 ,即 AQ（ 3-28） 5.2 挤压的实用计算 名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 bsbs bsbsPA（ 3-29） 式中， bsA 表示有效挤压面积，即挤 压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压
15、面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。 挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 bsbsbs AP （ 3-30） 1， 变形计算 圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为 l 的两个横截面的相对扭转角为 dxGITl P0 (rad) (4.4) 若等截面圆轴两截面之 间的扭矩为常数，则上式化为 PGITl(rad) (4.5) 图 4.2 式中 PGI称为圆轴的抗扭刚度。显然， 的正负号与扭矩正负号相同。 公式（ 4.4）的适用条件： （ 1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即 P ； （ 2） 在长度 l 内， T、
16、G、 PI 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即 ni Pi ii iIGlT1(rad) (4.6) 当 T、 PI 沿轴线连续变化时 ,用式 (4.4)计算 。 2， 刚度条件 扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角 max 不得超过许 可的单位长度扭转角 ,即 maxmax PGIT (rad/m) (4.7) 式 180maxmax PGIT（ m/ ） （ 4.8） 2，挠曲线的近似微分方程及其积分 在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系 EIM1对于跨度远大 于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得 EIxMx
17、1利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得 挠曲线的近似微分方程 ，即 EIxM （ 4.9） 将上式积分一次得转角方程为 CdxEIxM （ 4.10） 5 再积分得挠曲线方程 DCxdxdxEI xM （ 4.11） 式中， C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若 干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 3，梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的 刚度条件， 即 max ， max （ 4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内，由功能原理得 lFWV 21当杆件的横截面面积 A、轴力 FN
18、为常量时，由胡克定律 EAlFl N ，可得 EAlFV N2 2（ 4.14） 杆单位体积内的应变能称为 应变能密度 ，用 V 表示。线弹性范围内，得 21V（ 4.15） 4，圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原 er MWV 21将 TMe 与PGITl 代入上式得 Pr GIlTV 2 2 （ 4.16） 图 4.5 根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度 rV ： rVr 21（ 4.17） 5，梁的弯曲应变能 在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 eMWV 21将 MMe 与 EIMl 代入上式得 EIlMV 2 2（ 4.18） 图 4.6 横力
19、弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（ 4.18），积分得全梁的弯曲应变能 V ，即 l EIdxxMV 22 （ 4.19） 2截面几何性质的定义式列表于下： 静 矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 极惯性矩 Ay zdAS Ay dAzI 2 AIi yy Ayz yzdAI Ap dApI 2 Az ydAS Az dAyI 2 AIi zz 3惯性矩的平行移轴公式 AaII Cyy 2 AbII Czz 2 静矩 ：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图 -1 所示 。 定义式： Ay zdAS， Az ydAS（ -1） 量纲为长度的三次方。 由于均质薄板的重心与平面图
20、形的形心有相同的坐标 Cz 和 Cy 。则 6 yAC SdAzzA 由此可得薄板重心的坐标 Cz 为 ASAzdAz yAC 同理有 ASy zC 所以形心坐标 ASz yC ， ASy zC （ -2） 或 Cy zAS ， Cz yAS 由式（ -2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 0Cy ， 0zS ； 0Cz ，则 0yS ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积为 iA ，形心坐标为 CiCi zy , ，则
21、其静矩和形心坐标分别为 Ciiniz yAS 1，Ciiniy zAS 1（ -3） niiniCiizCAyAASy11 ，niiniciiyCAzAASz11 （ -4） -2 惯性矩和惯性半径 惯性矩： 平面图形对某坐标轴的二次矩，如图 -4 所示。 Ay dAzI 2 ， Az dAyI 2 （ -5） 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 AIi yy ， AIi zz （ -6） 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。 组合图形的惯性矩。设 ziyi II , 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为yiniy II 1，ziniz II 1（ -7）若以 表示微面积 dA 到
22、坐标原点 O 的距离 ,则定义图形对坐标原点 O 的极惯性矩 Ap dAI 2 （ -8）因为 222 zy 所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 zyAp IIdAzyI 22（ -9） 式（ -9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。 下式 Ayz yzdAI（ -10） 定义为图形对一对正交轴 y 、 z 轴的惯性积。量纲是长度的四次方。 yzI 可能为正，为负或为零。若 y ， z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。 -3 平行移轴公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的 惯性矩 或 惯性积 并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴 c
23、c z,y时，如图 -7 所示，可得到如下平行移轴公式 a b AIIAbIIAaIICCCCzyyzzzyy22（ -13） 简单证明之： 7 AA CA CA CAy dAadAzadAzdAazdAzI 2222 2 其中 A CdAz为图形对形心轴 Cy 的静矩，其值应等于零，则得 AaII Cyy 2 同理可证（ I-13）中的其它两式。 结论： 同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。 在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。把斜截面上的总应力 p 分解成与斜截面垂直的正应力 n 和相切的切应力 n （图 13.1c） ,则其与主应力的关系为 2 2 2
24、1 2 3n l m n （ 13.1） 2 2 2 22 2 21 2 3nnl m n （ 13.2） 在以 n 为横坐标、 n 为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力 n 和切应力 n 为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域（图 13.2 中阴影）中的一点。由图 13.2 显见 13max 2 1. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距 l，拉伸后试样标距 l1；拉伸前试样直径 d，拉伸后试样直径 d1） ， 2. 纵向 线应变和横向线应变 ， 3. 泊松比 4. 胡克定律 ， 5. 受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 6. 承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公
25、式 7. 轴向拉压杆的强度计算公式 8. 许用应力 ， 脆性材料 ，塑性材料 9. 延伸率 10. 截面收缩率 11. 剪切胡克定律（切变模量 G，切应变 g ） 12. 拉压弹性模量 E、泊松比 和切变模量 G 之间关系式 图13 .28 13. 圆截面对圆心的极惯性矩（ a）实心圆 （ b）空心圆 14. 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离 r ） 15. 圆截面周边各点处最大切应力计算公式 16. 扭转截面系数 ，（ a）实心圆 （ b）空心圆 17. 薄壁圆管（壁厚 R 0 /10 ， R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式 18. 圆轴扭转角 与扭
26、矩 T、杆长 l、 扭转刚度 GHp的关系式 19. 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时 或 20. 等直圆轴强度条件 21. 塑性材料 ；脆性材料 22. 扭转圆轴的刚度条件 ? 或 23. 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 ， 24. 平面应力状态下斜截面应力 的一般公式, 25. 平面应力状态的三个主应力 , 26. 主平面方位的计算公式 9 27. 面内最大切应力 28. 受扭圆轴表面某点的三个主应力 ， ， 29. 三向应力状态最大与最小正应力 , 30. 三向应力状态最大切应力 31. 广义胡克定律 32.四种强度理论的相当应力 32
27、. 一种常见的应力状态的强度条件 ， 33. 组合图形的形心坐标计算公式 ， 34. 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式 35. 截面图形对轴 z 和轴 y 的惯性半径 ? , 36. 平行移轴公式（形心轴 zc 与平行轴 z1 的距离为 a，图形面积为 A） 37. 纯弯曲梁的正应力计算公式 38. 横力弯曲最大正应力计算公式 10 39. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数 ? ， ， 40. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（ 为中性轴一侧的横截面对中性轴 z 的静矩， b 为横截面在中性轴处的宽度） 41. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 42. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式 43. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式 44. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 45. 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 46. 弯曲正应力强度条件 47. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件 48. 弯曲梁危险点上既有正应力 又有切应力 作用时的强度条件 或 ， 49. 梁的挠曲线近似微分方程 50. 梁的转角方程 51. 梁的挠曲线方程 ? 52. 轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式
