1、1“以学定教”的教学课例与评析2012 年 4 月，在我校 “以学定教”的主题研讨的优质课展示与评比活动中，笔者有幸以“直线与圆的位置关系”为课例，荣获一等奖. 在备课伊始，如何将“以学定教”这个主题融入到教学环节，以及对本节课重、难点的把握和分解，成为了本节课教学设计的重点. 一、生活情景链接原认知 从唐朝诗人王维的名作使至塞上入手，选取了其中的两句名句：“大漠孤烟直，长河落日圆” ，让学生把这两句诗所描写的景物直观地画出来，让学生从数学概念的角度出发去理解这两幅图，让学生参照落日和地平线的位置把直线与圆的位置关系画出来，从生活场景中引出直线与圆的 3 种位置关系. 点评：对于学生来说，学习
2、数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界，去了解世界，所以我设计了生活中的“日落”这个情景自然引入这个课题，让学生从生活的场景抽象出直线与圆的 3 种位置关系. 二、比较抽象概括成定义 通过刚才的引例给出直线与圆的 3 种位置关系； 请你模拟日落过程中太阳和地平线的位置关系，并完成学案. 教师：这 3 幅图你的分类标准是什么？ 学生 1：直线与圆的交点个数. 第一幅图直线与圆没有交点，第二幅2有一个交点，第三幅有 2 个交点. 教师：通过直线与圆交点的个数，我们可以把直线与圆的位置关系分为三类：有交点时，叫做相离；有一个交点时，叫做相切，这条直线叫做切线；有两个交点时，叫做相
3、交，这条直线叫做割线. 出示练习： 教师：第五幅图直线 l 和圆是什么位置关系呢？ 学生反应不一，有些回答相离，有些回答相切，有些回答相交. 教师：所以直观地从直线和圆的交点的个数来辨别还不够准确，那我们有没有更科学和准确的方法来描述直线和圆的位置关系呢？ 点评：这组题的设计既为了让学生巩固前面学习的三个定义，又让学生感觉到仅仅只有定义并不能全面和科学地判断直线与圆的位置关系，我们需要一种新的关系来刻画这三种关系，引出数量关系来刻画位置关系的必要性. 三、类比探索经历方法与过程 探讨直线与圆的位置关系和数量关系；（类比：点与圆的位置关系和数量关系.） 学生操作：已知点 O 和直线 a，求作以点
4、 O 为圆心，且与直线 a 相切的圆. （让学生通过作图，进一步理解直线与圆相切的概念，又启发学生思考相切时要满足的数量关系，为下面位置关系和数量关系的转化作了铺垫. ） 学生 2：过点 O 作直线 a 的垂线段 OA，以点 O 为圆心，垂线段的长3度为半径作圆，这样作的圆与直线 a 相切. 教师：那你能解释一下为什么这样做的圆一定与直线相切吗？ 学生 2：不知道. 教师：那有没有哪名同学能够解释一下？ 学生 3：因为除了点 A，直线上的其他点都在圆外，根据相切的定义，直线与圆只有一个交点，则可知直线与圆相切. 教师：那你能说说为什么除了点 A，直线上其他点都在圆外吗？ 学生 3：直线 a 上
5、除点 A 外的其他点到圆心的距离 d r，点 A 到圆心的距离 d = r，根据点与圆的位置关系可知，点 A 在圆上，直线 a 上的其他点在圆外，所以圆与直线只有一个交点，根据相切的定义可知，直线 a 与圆相切. 教师：这名同学解释得非常到位和全面，要证明相切，现在我们有哪些方法？ 学生 4：只有相切的定义，直线与圆只有一个交点. 教师：那如何证明直线与圆只有一个交点？ 学生 4：根据垂线段最短. 教师：那你们能不能得到另外两种位置关系的数量关系？ 几何画板上操作拖动圆，得到相交和相离时点到直线的距离的关系，然后总结三种位置关系分别对应的数量关系. 点评：直线与圆的数量关系对学生来说还是比较抽
6、象的，为了解决这个问题，教师设计了两个问题：一是如何画圆与直线相切；二是为什么这么画的圆就与直线相切；这两个问题的提出既让学生又一次经历了4直线与圆相切的产生过程，又让学生更加深入地理解了相切的定义. 四、分层变式，以达活用 1. 已知圆的直径为 13 cm，设直线和圆心的距离为 d： （1）若 d = 4.5 cm ，则直线与圆 ， 直线与圆有 个公共点. （2）若 d = 6.5 cm ，则直线与圆 ， 直线与圆有 个公共点. （3）若 d = 8 cm ，则直线与圆 ， 直线与圆有 个公共点. 这组题已知数量关系，要学生转化为位置关系，是两种关系相互转化的简单应用. 2. 如图，在 Rt
7、ABC 中，C = 90， AB = 5 cm，AC = 3 cm. （1）以 C 为圆心的圆与 AB 所在的直线相切，则这个圆的半径是 cm. （2）当 r 满足 时， 线段 AB 与C 只有一个公共点. 这组题第一小题学生解答问题不大，但在解决第二小题时碰到了较大困难，于是老师提出了一个过渡性的问题. 教师：第二小题和第一小题有什么联系和区别？ 学生 5 观察题目后：第一小题是与直线 AB 相切，而第二小题是线段与圆只有一个公共点. 点评：学生能很快地画出简单的示意图，如何将实际背景与今天所学的知识背景相联系成为解决这个问题的一个难点. 教后反思 当前大多数的教学是“重结果，轻过程” ， 把形成结论的生动过程变成了刻板的条文背诵（或机械模仿） ，它从源头上剥离了知识与智力的内在联系；在教师的影响下，学生的数学学习观念只能是死记硬背，使5得大量的结果性知识充斥学生大脑，而对学生智力开发、探究能力培养有益的大量的过程性知识被无情地摒弃了，这样就失去了研究数学知识“生成过程”的体验，自然也就失去了培养学生研究数学知识生成的最佳契机. 因此，我们要改变教与学的方式，变“被动学”为“主动学” ，还原学生的课堂主导地位，真正让课堂成为学生“学”的舞台！
