1、1关注思维过程 提升思维品质抽屉原理是人教版六年级下册第 68 页的教学内容，又称鸽巢原理。它是组合数学的一个基本原理，由这个显而易见的原理出发可得到许多惊奇的结论。这类问题在学生的生活和认知中接触得少之又少，同时关于抽屉原理的解释与证明对于小学生来说是很难的。教师在执教该课时总会遇到很多困难，特别在对抽屉原理最原始的解释与证明时，往往会造成学生的一知半解或根本不理解的情况出现。 笔者认为抽屉原理不仅是一个数学模型，它更像是一张密织着理性思考的网，纵横交错着一条条细而密实的逻辑思维的线。因此，教师应善于拾掇学生已有的那些逻辑思考的“线” ，逐步去编织学生思考的“网”，建立对抽屉原理最真切的感知
2、，最终提升学生的推理与思考的能力。 【教学呈现】 师出示： 师：把 5 个无任何区别的苹果放进 3 个一样的盘子中，可以怎么放？你们能预测一下吗？（生思考，并踊跃举手） 师： 我们先不急着交流，老师这里正好也有几个结论请大家来看一下。 师出示： （1）可能有一个盘子没有苹果。 （2）可能有一个盘子有 5 个苹果。 2（3）每个盘子一定都有苹果。 （4）总有一个盘子至少有 2 个苹果。 学生齐读并作判断。 生：我认为“可能有一个盘子没有苹果”是对的。 师：为什么？依据？ 生：因为可以是第一个盘子不放，第二个放 3 个，第三个放 2 个。 生：或者是一个盘子里不放，另外两个盘子放 4 个和 1 个
3、。 师：嗯，一个盘子不放苹果的情况还真有点多，可以这样举例来说明问题，很好。 生：我认为“可能有一个盘子有 5 个苹果”也是对的。因为可以是一个盘子放 5 个，其他的盘子一个也不放，如果是我就这么放。 师：对。这两个结论有一个共同点就是 生：可能。 师：只要有可能发生就对，当然我们也可以通过举例来验证。 生：“每个盘子一定都有苹果” ，我认为是错的。因为如果是这样放：第一个盘子放 5 个，其他的盘子就没得放了，所以是错的。 师：对，说“一定”太绝对了，当然我们可以找到很多反例，来说明它是错的。 师：还剩下最后一个结论！ 生：我认为是错的，因为它太绝对了。 生：我认为是对的，好像找不到反例。 师
4、即时反馈学生判断的情况：大部分学生认为是错的，将近三分之3一的学生认为是对的。 师：意见好像有点不统一啊？对这句话的意思理解吗？ 生：理解。 师：“至少”是什么意思？ 生：最少。 师：“总有一个”是什么意思？ 生：三个盘子中的其中之一。 师：整句话表达的又是什么意思呢？ 生：不管怎么放，三个盘子中总能找到一个盘子，里面最少放 2 个苹果。 师：对，当然也可以是 3 个、4 个或者 5 个。那就开始验证吧，可以举例也可以画图，但要说明问题。 （生验证） 生交流方法，师板示： “总有一个盘子至少有 2 个苹果” ，师生逐一验证打钩。 师：5 个苹果放三个盘子，所有出现的不同情况都满足这个结论，所以
5、说这个结论是（对的） 。 师：如果说“总有一个盘子至少有 3 个苹果”还对吗？ 生：不对，明明最少的情况是 2 个嘛。 师：如果说“总有一个盘子至少有 0 个苹果”对吗？ 生：也不对，这样就没意义了。 生：应该看每种摆法中苹果最多的那个。 师：嗯，很好，善于观察的孩子。 4师：那么，6 个苹果放 3 个盘子。你能得出怎样的结论，为什么？ 生：总有一个盘子至少有 2 个苹果。 师：跟刚才的一样？验证一下吧。 （生再次验证） 生：我把每一种放法都写了出来，每一种放法都是对的。 师：好的。 师：那如果 10 个苹果放到 9 个盘子里，又会怎样呢？ 生：总有一个盘子至少有 2 个苹果。 师：为什么？
6、生：如果每个盘子只放进一个苹果，剩下的一个不管放在哪个盘子里，总有一个盘子至少有 2 个苹果。 师：解释得非常好。如果 100 个苹果放到 99 个盘子中呢？你能发现点规律吗？ 生：总有一个盘子至少有 2 个苹果。 生：只要苹果数比盘子数多一个，就总有一个盘子里至少会有 2 个苹果。 生：只要苹果数比盘子数多，就总有一个盘子里至少会有 2 个苹果。 师：很好，接下来老师给你们 n 个苹果和 m 个盘子，任由你们处理，并把过程写下来。 （ ）个苹果放在（ ）个盘子中，总有一个盘子至少有（ ）个苹果。想好自己的理由。 5师生交流： 师：有同学把 8 个苹果放进 3 个盘子中，得到的结论是总有一个盘
7、子至少会有 4 个苹果，先说说理由。 生：当每个盘子放 2 个苹果之后，剩下的 2 个放到一个盘子里，这个盘子就有 4 个苹果了。 生：不对，如果把 2 个苹果分别放在两个盘子里，就得到“总有一个盘子中至少有 3 个苹果”这个结论了。 师：有同学把 20 个苹果放进 4 个盘子中，得到的结论是总有一个盘子至少会有 5 个苹果，理由？ 生：因为每个盘子中放 5 个苹果，20 个苹果都可放到盘子中，如果一个盘子上苹果减少，那么另外盘子上的苹果就会增加，所以总有一个盘子至少会有 5 个苹果。 生：用 204=5，不是也可以算出来吗？这样方便。 师：不错的提议，那刚才的那种摆法怎么算呢？ 生：83=2
8、2，2+2=4，哦，不对，应该是 2+1=3。 师：为什么改了？ 生：因为剩下的 2 个还可以放在两个盘子里，所以最少是 2+1=3。 师：恭喜你改对了。对于算式中的余数你们还有什么想法？ 生：我认为余数不管是几都只能再加 1，因为剩下的苹果还可以放到其他盘子中，每个盘子最多也只能得到一个。 师：看来我们还可以用除法算式来说明这个问题，这个方法更加简洁明了。接下来请你用除法算式把自己的结论表示出来进行检验。 6 【教学反思】 抽屉原理这个教学内容尽管很难，但通过以上的教学，学生的思考与表达都很清晰，对抽屉原理的理解已相当到位，教学也较顺畅，由此看来教师的教依然起着至关重要的作用。 一、不要孤立
9、地来教抽屉原理 抽屉原理可能对学生来说（包括教师）是一个全新的命题，教师通常也习惯于顺着教材的思路来教，例如几支笔放在几个铅笔盒中，怎么放？有几种方法？最后总结归纳出一个结论来就是抽屉原理。如此这样，由教师完全带着学生学的教法，毫无思考的张力，它无视学生已有的认知，割裂了学生已有的知识储备与能力储备。笔者认为，学生已有的逻辑判断能力与经验，是理解抽屉原理的关键。本课中，教师能否把学生已有的知识与能力的储备调用出来进行推理和判断，便是教学的关键。例如，在本课开始部分，充分利用“5 个苹果放在 3 个盘子中，怎么放”这样一个情境，让学生对四个结论进行对错判断，并说明原因。在这样一个过程中，进一步让
10、学生感受关于用 “可能”与“一定”来描述一个事件，这是对学生已有关于结论对与错的逻辑判断的这部分经验的唤醒与激活。同时通过用举例的方法来说明问题，这是学生进行正确推理的一个基础，也是本课解释抽屉原理的一个基础。这样的一个教学开端，完全根植于学生已有的认知系统，并进行有机激活，从而能有效解决新问题。 二、要让学生逐步经历抽象的过程 7通过枚举摆法来逐一验证，应该是说明抽屉原理最为形象也最易让学生理解的一个方法。但这种方法也有一定的局限性，当涉及的数据偏大时，通过列举就显得非常烦琐。所以，这里除了验证之外，还要引导学生进行深入的观察与分析，使学生能够理解并掌握抽屉原理，这是学生数学思维的一次提升，通过进一步的教学，让学生自主发现用除法算式来解决抽屉问题，应该是学生对抽屉原理的更为抽象、更为数学化的理解。当然，这是一种更为简便的解释，在以后解决类似问题时更具适用性。 （浙江省桐乡市崇德小学 314500）
