1、1函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用. 1.函数单调性的概念 1.1、 函数单调性的定义 定义 如果函数 对于区间 I 内的任意两点 ，当 时有 ，则称此函数在 I 上单调增加，I 称为单调增区间；当 时有 ，则称此函数在 I 上单调减少，I 称为单调减区间. 1.2.1、函数单调性的判定的预备知识 以下三个定理在这里只给出，而不给予证明. 定理 1.2.1（罗尔中值定理） 设函数 满足以下
2、三个条件： （1）在闭区间 内连续； （2）在开区间 内可导； （3） 则至少存在一点 ，使得 . 定理 1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数 满足以下两个条件： 在闭区间 内连续； （1） 在开区间 内可导 2则至少存在一点 ，使得 . 定理 1.2.3（根的存在定理）设函数 在闭区间 内连续且 ， 则至少存在一点 ，使得 . 即方程 至少存在一个根 . 1.2.2、 函数单调性的判定 有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。因此需要借助以下定理： 定理 1.2.4 设函数 在区间 内可导，若导函数 ，则函数 在区间 内单调递增；若导函数 ，则函
3、数 在区间 内单调递减. 2.函数单调性的应用 2.1、证明不等式 用函数单调性可以证明不等式. 例 2.1.1 证：当 时， . 证 构造辅助函数 ，有 ， 当 时有 即 在 内单调增加，从而当 时有 故 也即 . 即证. 例 2.1.2 证：当 时， . 证 构造辅助函数 当 时， 即 在 内单调减少.从而当 时，有 .由 的定义知 ，有 ，由对数的3性质可得 . 故原证题得证. 这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当 时，有幂的大小关系 . 2.2、求函数的最值 用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值. 例 2.2.1 求 在闭区间 内的最大值和最小值. 解 当 时，有 即 在
4、闭区间 内单调增加。因而函数 在闭区间 内的最大值为 ，最小值为 . 例 2.2.2 求 的最大值和最小值. 解 函数 的定义域为实数域 ，现考虑该函数在实数域 上的最大值和最小值。 因为 ，令 得 。今把实数域 分成 、 和 三个区间考虑. （1） 当 时， ，此时函数 单调增加.因而 当 时有 ； （2） 当 时， ，此时函数 单调减少.因而 当 时有 ； （3）当 时， ，此时函数 单调增加。因而 当 时有 . 即综合（1） （2） （3）可知：对于 ，都有 . 故函数 有最大值 和最小值 . 42.3、判定方程是否有唯一解 利用函数单调性及根的存在定理可以判定方程是否有唯一解. 有的方
5、程目前无法求出具体解，但应用根的存在定理我们可以断定在某个区间内是否存在解。如果又知道函数 单调，即可得出方程 =0 在某个区间内有唯一解. 例 2.3.1 证：方程 在实数域 上有唯一解. 证 设函数 （1）存在性（根的存在定理） 显然函数 在闭区间 内连续，又 则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 . 即方程 =0 至少存在一个解 . （2） 唯一性（单调性） 因为函数 在闭区间 内连续且 ，即 。下证方程 的解只有 . 假设方程 还有一个解 ，即 由 知函数 在实数域 上单调增加，不妨设 ，则得 与 矛盾. 即方程 只有一个根 . 综合（1） （2）即证. 例 2.3.2 设函数 且
6、在 上连续，令 求证：方程 在 内有且只有一实根. 证 （1）存在性 显然函数 在闭区间 内连续， 且有 5则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 .即方程 有一个根 ，存在性得证； （3） 唯一性 因为当 时有 即函数 在 内单调增加. 设方程 有异于 的根 ，即 ，且 . 不妨假设 ，由函数 的单调性可知 ，即 与 不合. 从而得方程 只有一个根 ，唯一性得证. 以下本文将不再证明函数的单调性，而直接说明函数单调性的应用. 2.4、 解方程 利用函数的单调性可以解一些特殊的方程. 例 2.4.1 解方程 解 因为 单调增加，且有 。由指数函数的单调性容易知道 ，即 ，当且仅当 等号成立.
7、即原方程等价为 且 ，解得 .故原方程的解为 . 例 2.4.2 解方程 解 令 ， 。显然 单调增加， 单调减少，即曲线 和曲线 只有一个交点.因通过观察法可知 ，即原方程的解为 . 2.5、 解不等式 利用函数的单调性可以解一些不等式. 例 2.5 解不等式 解 原不等式两边的结构都是 的形式，令 ，显然 在实数域 上单调增加.由于原不等式可化为 ，由 的单调性可知： ，解得 .即此不等式6的解为 . 2.6、 求取值范围 利用函数的单调性可以求参数的取值范围. 例 2.6 关于 的方程 有实数解，求参数 的取值范围. 解 由方程可得 ，因为 ，所以 .不难知当 时， 单调增加，因而 ；当
8、 时， 单调减少，因而 .综上可知参数 的取值范围为 . 2.7、 求函数值 利用函数的单调性可以求某些函数的函数值. 例 2.7 已知： ，且满足 ， 求 . 解 方程可改写为 ，即 都是关于 的方程 的解. 令 ，显然 在 上单调增加，可知方程 =0 在 上有唯一解.由于 知 ，则 即 . 从而有 . 3.小结 函数的单调性是很重要的性质，从图形上看它是上升或下降的.如果函数具有了这个性质，在实际中无疑具有重要的意义.比如它还可以用来证明条件不等式、它还可以用在生活中的淋雨模型、人口控制，还可以用它扩充到算子、泛函等. 参考文献 1梁弘，翟步祥.高等数学基础M.北京交通大学出版社，2009，6. 72李晶，方丽萍.数学分析教程M.高等教育出版社，2007，12. 3李德才，骆汝九，张文军.分层数学同步练习册M.北京交通大学出版社，2006，6.
