1、第二章 习题解答2-17 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 （单位：米，秒） ， 求证质点受恒力而运动，并求力的jtitr)13()16(22方向大小。解： , 为一与时间无关的恒矢量，jidtra6/2 jiamF124质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12 N，力与 x 轴之间夹角为：53426.0/arctgFarctgxy2-18 质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b, 为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。jtbitsno证明： rjtbitadra 222 )snco(/ , 作用于质点的合力总指向原点。mF2-19 在图示
2、的装置中两物体的质量各为 m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为 ，求在力 F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离 m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=N 1=m 1g，f2=N 2=(N 1+m2g)=(m 1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： amTggFagmT 22111 )(+可求得： m21将 a 代入中，可求得： 21)(gFT2-20 天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2 的物体（m 1m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若
3、干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。解：隔离 m1,m2 及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：m1m2 Ff1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2m1 m2Tm1ga Tm2gaTT T由可求得：2 221 TamTgagmT 2121, 所以，天平右端的总重量应该等于 T，天平才能保持平衡。2-21 一个机械装置如图所示，人的质量为 m1=60kg，人所站的底板的质量为 m2=30kg。设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大？ 解：装置的各部分和人
4、的受力如图所示，据题意有：1231213210TTNmg解方程组得：312()4TgN代入数据得： ，即人应以 220。5N 的力量拉绳子？此时人对升降机的320.567压力是 367.5N。2-22 桌面上有一质量 m1=1kg 的木板，板上放一个质量为 m2=2kg 的物体。已知物体和板之间的滑动摩擦系数 2=0.4，静摩擦系数为0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数 1=0.3。（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加速度 a=1m/s2 运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？解：以地为参考系，隔离 m1、m 2，其受力与运动情况如图所示，
5、m1gf1N1a1a2N2N1m2gFf1f2xy（1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于 a=1m/s2，所以它们之间无相对运动。解方程组并代入数据得： 1220fmaNg 12.94fN所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为 1N 和 2.94N。（2）其中，N 1=N1，f 1=f1= 0N1，f 2= 2N2，选图示坐标系 o-xy，对 m1，m 2 分别应用牛顿二定律，有0122210magFN解方程组，得 12012122/agaFmggm要把木板从下面抽出来，必须满足 ，即0121220Fmg.5319.8235gN即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于
6、 2.352N 的力。2.23 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为 2kg，t=0 时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动） 。 解：根据推力 F-t 图像，可知 F=4.9t（t20）,令 F=mg，即 4.9t=29.8，t=4s，因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0 4s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=420s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设 t=20s 时，y = y1，v = vmax ；t20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最 大高度时的坐标 y=y2.第二阶段的动力学方
7、程为：F- mg = m dv/dt/4.9/.8dvFtgdtdt044.92.20ttt(s)F(N)98202.23 题图24.9/.84.920vtt1max20202004441()3/.)9/8967ysdttdtdttm第三阶段运动学方程 )2(0(9.4)2(31),(208.9314 ttytv令 v=0,由（1 ）求得达最大高度 y2 时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得 y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)2.24 汽车质量为 1.210kN，在半径为 100m 的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜 15，沿公路取自然坐标，汽
8、车运动学方程为 s=0.5t3+20t (m)，自 t=5s 开始匀速运动，试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？ 解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.552+20=57.5m/s，a n=v2/R=57.52/100=33设摩擦力 f 方向指向外侧，取图示坐标 o-xy，应用牛顿第 二定律：cossinincofmaNgf/得： )sin/()( fmgftn tgafftgfgt nn ico,cssi ，说明摩擦力方向与我们事先假设方0,43.0158.9f
9、tatn向相反，指向内侧。2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以 15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02 ，所受阻力等于卡车重量的 0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ yx=15fNmgan解：设卡车匀速上坡时，速率为 v, 牵引力为 F, 功率为 N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin)mg，N = Fv = (0.04+sin)mgv设卡车匀速下坡时，速率为 v,牵引力为 F,功率为 N, 由质点平衡方程有 F+ mg sin= 0.04mg, F=(0.04-sin)mg,N= (0.04-sin )mgv.令 N= N, 即（0.
10、04+sin ）mgv = (0.04-sin)mgv，可求得：v= v(0.04+sin)/(0.04-sin). 利用三角函数关系式，可求得： sin tg=0.02 ,v=3v =315103/602 m/s = 12.5m/s.2.26 如图所示，质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力 T=50N，木块在 A 点时具有向右的速率 v0=6m/s，求力 T 将木块从 A 拉至 B 点时的速度。 20.8/ms解：以 A 为原点建立图示坐标 o-x，木块由 A 到 B，只有拉力 T 做功：403)(4
11、040 2cosxdxTdF4m3mA BTx2.26 题图2.27 题图设木块到达 B 时的JxxxdT 10)35(|9)4(50 |9)4(29402 402/154 22/12 速度为 v，由动能定理： 22mvA，方向向右smA/8.6./2/202.27 如图所示，质量为 1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力 F,F=60N,木块在 A 处有向上的速度 v0=2m/s,求木块被拉至 B 时的速度。 3.86 m/s.解：以地为参考系，建立图示坐标 A-xy，木块在由 A到 B 的运动过程中受三个力的作用,各
12、力做功分别是：AN = 0；A W = -mg(yB-yA)=-1.29.80.5= -5.88J；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 JFyyddFydyFAy43.12)(605.)12(5.0|(. )5.0(.)50(.cos52/150 2/22/12 5.0).(5.05.0 22由动能定理： 2ABFWNmvA代入数据，求得 vB =3.86 m/s.0.5m y 0.5mB 0.5m F N FW A A x2.28 质量为 m 的物体与轻弹簧相连，最初 m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度 v0 向右运动，弹簧的劲度系数为 k， 物体与支
13、撑面间的滑动摩擦系数为 求证物体能达到的最远距离 l 为 )1(20mgvkg证明：质点 m 由弹簧原长位置运动到最远位置 l，弹力 F 和滑动摩擦力 f 对质点做负功，导致质点动能由 mv02/2 变为 0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv02/2 其中， ，mglAklldkf,21代入中，并整理，有：kl 2+2 mgl-m v02=0. 这是一个关于 l 的一元二次方程，其根为：，负根显然不合题意，舍去，所以，kvmkggml24)(2 202 )1()( 20201 gmvkkgkg 2.29 滑雪运动员自 A 自由下落，经 B 越过宽为 d 的横沟到达平台 C 时，其速度 v
14、c刚好在水平方向，已知 A、B 两点的垂直距离为 25m.坡道在 B 点的切线方向与水平面成 30 角，不计摩擦，求：运动员离开 B 处的速率 vB；B 、C 的垂直高度差h 及沟宽 d；运动员到达平台时的速率 vc. 解：运动员在整个运动过程中,只有重力做功,故机械能守恒，取 B 点为势能零点。mgH = mv B2/22.28 题图 smgHvB /1.258.92运动员由 B 到 C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc = vB cos30 = 19.1m/smv B2/2 = m vc2/2+mgh h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向
15、的速度公式可求跨越时间：0 = vBsin30-gt t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30t = 21.6m.2.30 装置如图所示，球的质量为 5kg，杆 AB 长 1m，AC长 0.1m，A 点距 O 点 0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为 v，弹簧原长： ，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有51.0.5.02l保守内力
16、做功，因而机械能守恒：，可求得：202121 )(lACOkBmgvsmlA/8.45/)1.5.0(8.922.31 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当 粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度可达 粒子碰撞前速度的 1.6 倍，即占入射 粒子能量的 64%。试证明此结论(碰撞是完全弹性的，且 粒子质量接近氢原子质量的四倍)。证明: 设氢原子质量为 m,碰前速度为零,碰后速度 vH, 粒子质量为 4m,碰前速度为 v ,碰后速度为 v .根据完全弹性碰撞基本公式：即 ， 4mHH)2(14vH4，得 8 v = 5vH, v H= 8 v /5 = 1.6
17、v64.0224)6.1(/4 mEH232 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自右方以速率 v 滑行并与 m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离 s 然后静止。求轨道作用于车的阻力。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度 v，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m) 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了 s，速度由 v变为零，由动能定理，有 fs = 0 - (M+m) v2 /2,将 v代入，可求得 )(mMsvf2.33 如图所示， 质量为 2g 的子弹以 500m/s
18、的速度射向质量为 1kg，用 l =1m 长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有 100m/s 的速度，问摆沿铅直方向升起若干？解：用 v0,v 分别表示子弹穿过摆前后的速度，u 表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为 h由动量守恒： ，可得 MVmv08.)15(2.)(0vVMm由能量守恒： gh1mgh03.)9/(8./222.34 如图所示一质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm，今有一质量为 200g 的铅快在高 30cm 处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。解：框架静止时，弹簧伸长 l=0.1m，由平衡条
19、件 mg=kl,求得：k=mg/ l=0.29.8/0.1=19.6N/m铅块落下 h=30cm 后的速度 v0，可由能量守恒方程求出：201mvghsmghv /42.308.920 设铅快与框架碰后的共同速度为 v，由动量守恒： svm/1./.,0210设框架下落的最大距离为 x，由机械能守恒：，进行整理并代入数据，可得 x 的一元二次mglklv)()( 2212121 方程： xx3.0,3.0.2.35 如图所示，质量为 m1=0.790kg 和 m2=0.800kg的物体以劲度系数为 10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为m0=0.01kg 的子弹
20、以速率 v0=100m/s 沿水平方向射于 m1 内，问弹簧最多压缩了多少？解：整个过程可分为两个阶段处理。第一阶段：子弹射入 m1 内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为 m0，子弹与 m1 获得的共同速度为 v,则有m0v0 = (m1+m0) v v = v0m0 / (m1+m0) （1）第二阶段：子弹与 m1 以共同速度 v 开始压缩弹簧至 m1 与 m2 有相同的速度 V,压缩结束；在此过程中，由 m0,m1,m2 组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为 l.由动量守恒，有： )2()()( 0210210210 vVVvm由能量守恒: 3)()( 21klm将、代入中，可求得： mkvl 5.0)11(200 2.36 一 10g 的子弹沿水平方向以速率 110m/s 击中并嵌入质量为 100g 的小鸟体内，小鸟原来站在离地面 4.9m 高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为 v，由动
