1、1高考线性规划命题新动向简单线性规划问题是高考必考的知识点，其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域而快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域常常采用“直线定界，特殊点定域”的方法 找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法有： 画直线作出各不等式的对应方程所表示的直线（原不等式带等号的作实线，否则作虚线） 取特殊点平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点，当直线过原点时我们选取特殊点（x，0）或（0，y） （坐标轴上的点）；当直线不过原点时我们选取原点（0，0）作为特殊点 代值定域将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所
2、表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边 求公共部分不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分 下面，我们通过研究 2013 年高考线性规划试题来了解高考线性规划命题的新动向. 例 1 （广东文科卷）已知变量 x，y 满足约束条件 x-y+30-21x1y1，则 zxy 的最大值是 . 分析 用数形结合思想来解无论是代入端点还是平移直线，都要把可行域正确判断出来 解 画出可行域如图中阴影部分所示，则目标函数 zxy，经过 P点达到最大值由 x=1x-y+3=0 得 P（1，4） 故最大值为 5. 点
3、评 本题主要考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想方法，考查考生的运算求解能力 例 2 （北京文科卷）设 D 为不等式组 x02x-y1x+y-30 表示的平面区域区域 D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为_ 分析 根据线性约束条件作出可行域，结合图形可以发现所求最小值为点 P（1，0）到 2xy0 的距离. 解 作出不等式组表示的平面区域如图所示（OAB 及其内部） ，易观察知，所求最小值为点 P（1，0）到 2xy0 的距离 d=. 点评 本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力及数形结合思想和转化思想 例 3 （广东卷）给定区域 D：x+4y4x+y4x
4、0.令点集T（x0，y0）D|x0，y0Z， （x0，y0）是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点 ，则 T 中的点共确定_条不同的直线 分析 本题考查线性规划中的整点问题，可用图形直观得出整点 解 解决本题的关键是要读懂数学语言 x0，y0Z，说明 x0，y0 是整3数，作出图形可知，所围成的区域即为区域 D，其中 A（0，1）是 z 在 D上取得最小值的点，B、C、D、E、F 是 z 在 D 上取得最大值的点，则 T 中的点共确定 AB，AC，AD，AE，AF，BF 共 6 条不同的直线 点评 本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用
5、例 4 （陕西文科卷）若点（x，y）位于曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为（ ） A6 B2 C0 D2 分析 利用两函数图象作出可行域，目标函数为平行直线系，运动变化过特殊点确定最值. 解 如图，曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z2xy，则 y2xz，作直线 y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点（2，2）时，z 取得最小值，此时 z2（2）26. 点评 本题主要考查分段函数的图象和性质以及求解线性规划最优解的思维方法在求解时需注意以下代数式的几何意义：z=ax+by 表示一条动直线（直线系） ；表示动点 P（x，y）与点
6、M（a，b）连线的斜率；（x-a）2+（y-b）2 表示动点 P（x，y）与点 M（a，b）距离的平方 例 5 （北京文科卷）已知点 A（1，1） ，B（3，0） ，C（2，1） 若平面区域 D 由所有满足（12，01）的点 P 组成，4则 D 的面积为_ 分析 本题的典型错误是从 x=1+2+x=-1+2 中解出 x、y 的范围，然后计算面积，出现面积变大，错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形本题宜采用线性规划知识求解 解 设点 P（x，y） ，且（2，1） ，（1，2） ， =+（1，1）（2，1）（1，2） ， x=1+2+y=-1+2， 3=2y-x+33
7、=2x-y-3. 又 12，01， 0x-2y362x-y9 表示的可行域是图中平行四边形及内部 画出可行域如图中阴影部分所示， 点 B（3，0）到直线 x-2y=0 的距离 d=，点 B、N 之间的距离|BN|= 故可求阴影部分面积 S3. 点评 本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的能力，是一道综合性较强的题目，重在考查考生分析问题、解决问题的能力 例 6 （湖北文科卷）某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21
8、 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为（） 5A31200 元 B36000 元 C36800 元 D38400 元 分析 解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域） ，则区域中的某个顶点使目标函数取得最大或最小值 解 设租 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆时租金为 z 元，则z1600x2400y x、y 满足 x+y21y-x736x+60y900x，y0，x、yN，画出可行域如右图， 直线 y-x+过点 A（5，12）时纵截距最小， 则 zmin5160024001236800 故租金最少为 36800 元，选 C 点评 本题主要考查用二元一次不等式组解决实际问题的能力，考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力 （编辑 孙世奇）
