1、1 椭圆专题练习 1.【 2017 浙江， 2】 椭圆 22194xy的离心率是 A 133 B 53 C 23 D 59 2.【 2017 课标 3，理 10】 已知椭圆 C： 221xyab，（ ab0）的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 20bx ay ab 相切，则 C 的离心率为 A 63 B 33 C 23 D 13 3.【 2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： 22xm+y2=1(m1)与双曲线 C2： 22xny2=1(n0)的焦点重合，e1， e2 分别为 C1， C2 的离心率，则（） A mn 且 e1e21 B mn 且 e1e2
2、1 D mb0），四点 P1（ 1,1）， P2（ 0,1）， P3（ 1，2 32 ）， P4（ 1， 32 ）中恰有三点在椭圆 C 上 . （ 1）求 C 的方程； （ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A， B 两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 . 8.【 2017 课标 II，理】 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 12x y上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 2NP NM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 3x 上，且 1OP PQ。证明：过点 P 且垂直于 O
3、Q 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 9.【 2017 山东，理 21】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ： 221xyab 0ab的离心率为 22，焦距为 . （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）如图，动直线：1 32y kx交椭圆 E 于 ,AB两点， C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的斜率为 2k ，且12 24kk， M 是线段 OC 延长线上一点，且 : 2:3MC AB ， M 的半径为 MC ，,OSOT 是 M 的两条切线，切点分别为 ,ST.求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线的斜率 . 10.【 2017 天津，理 19】 设椭圆 22 1( 0 )xy
4、abab 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为3 12 .已知 A 是抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点， F 到抛物线的准线的距离为 12 . （ I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （ II）设上两点 P ， Q 关于轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直线 BQ 与轴相交于点 D .若 APD 的面积为 62 ，求直线 AP 的方程 . 11.【 2017 江苏， 17】如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab 的左、右焦点分别为 1F , 2F ,离心率为 12,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆
5、E 上，且位于第一象限，过点 1F 作直线 1PF 的垂线 ,过点 2F 作直线 2PF 的垂线 . （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）若直线 E 的交点 Q 在椭圆 E 上 ,求点 P 的坐标 . 12.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆 22 2 1 5 0x y x 的圆心为 A,直线 l过点 B（ 1,0）且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A 于 C,D 两点 ,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （ I）证明 EA EB 为定值 ,并写出点 E 的轨迹方程； （ II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点 ,
6、过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点 ,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 13.【 2016 高考山东理数】 （ 本小题满分 14 分 ） 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2222 10xy abab 的离心率是 32 ，抛物线 E： 2 2xy的焦点 F 是 C 的一个顶点 . （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （ i）求证：点 M 在定直线上 ; F1 O F2 x y
7、 (第 17 题 ) 4 （ ii）直线与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 1S ， PDM 的面积为 2S ，求 12SS 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标 . 【答案】（ ） 14 22 yx ;（ ）（ i）见解析；（ ii） 12SS 的最大值为 49 ，此时点 P 的坐标为 )41,22( 【解析】 试题分析：（ ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（ ）（ i）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l的方程和抛物线联立，进而判断点 M 在定直线上；（ ii）分别列出 1S ， 2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点 P 的坐标 . 试题解析： （ ）（ i）设 )0)(2
8、,( 2 mmmP ，由 yx 22 可得 xy / ， 所以直线的斜率为 m ， 因此直线的方程为 )(22 mxmmy ，即 22mmxy . 5 设 ),(),(),( 002211 yxDyxByxA ，联立方程222241my mxxy 得 014)14( 4322 mxmxm ， 由 0 ，得 520 m 且14 4 2 321 mmxx， 因此 14 2223210 mmxxx, 将其代入 22mmxy 得)14(2 220 mmy， 因为mxy 4100 ，所以直线 OD方程为 xmy 41 . 联立方程mxxmy 41 ，得点 M 的纵坐标为M 14y ， 即点 M 在定直线
9、 41y 上 . （ ii）由（ i）知直线方程为 22mmxy ， 令 0x 得 22my ，所以 )2,0( 2mG ， 又 2 1( , ), (0 , ),22mP m F D )14(2,14 2( 2223 mmmm， 所以 )1(41|21 21 mmmGFS， )14(8 )12(|21 22202 mmmxmPMS， 所以222221 )12( )1)(14(2 m mmSS ， 令 12 2 mt ，则 211)1)(12(2221 ttt ttSS， 6 当 211t ，即 2t 时，21SS 取得最大值 49 ，此时 22m ，满足 0 ， 所以点 P 的坐标为 )41
10、,22( ，因此 12SS 的最大值为 49 ，此时点 P 的坐标为 )41,22( . 考点： 1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质； 2.直线与圆锥曲线的位置关系； 3. 二次函数的图象和性质 . 14.【 2015 江苏高考， 18】 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 10xy abab 的离心率为 22 ，且右焦点F 到左准线 l 的距离为 3. （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P， C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程 . 【答案
11、】（ 1） 2 2 12x y（ 2） 1yx或 1yx 【解析】 试题分析（ 1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为 22，二是右焦点 F到左准线 l 的距离为 3，解方程组即得（ 2）因为直线 AB 过 F，所以求直线 AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据 PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量 .首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出 AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出 AB 长，再根据中点坐标公式求出 C 点坐标，利用两直线交点求出 P 点坐标，再根据两点间距离公式求出 PC 长，7 利用 PC=2AB 解出直线 AB 斜率 ,写出直线
12、AB 方程 . （ 2）当 x 轴时， 2 ，又 C3 ，不合题意 当 与轴不垂直时，设直线 的方程为 1y k x， 11,xy ， 22,xy ， 将 的方程代入椭圆方程，得 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k ， 则 221 , 2 22 2 112kkxk， C 的坐标为 2222 ,1 2 1 2kk，且 22 2 222 1 2 1 2 1 22 2 11 12 kx x y y k x x k 若 0k ，则线段 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意 从而 0k ，故直线 C 的方程为 222121 2 1 2kkyxk k k ， 则点的坐标为 2
13、2522,12kkk，从而 2222 3 1 1C12kkkk 因为 C2 ，所以 2 2 2222 3 1 1 4 2 11212k k kkkk ，解得 1k 此时直线 方程为 1yx或 1yx 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 15.【 2016 高考天津理数】（本小题满分 14 分） 设椭圆 13222 yax （ 3a ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知| 3| 1| 1 FAeOAOF ，8 其中 O 为原点，为椭圆的离心率 . （ ）求椭圆的方程； （ ）设过点 A 的直线与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于的直线与交于点 M ，与 y 轴交于点 H
14、，若 HFBF ，且 MOA MAO ，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】（ ） 22143xy（ ） ),4646,( 【解析】 试题分析：（ ）求椭圆标准方程，只需确定量，由 1 1 3| | | | | |cOF OA FA，得 1 1 3()cc a a a c ，再利用 2 2 2 3a c b ， 可解得 2 1c ， 2 4a （ ）先化简条件：MOA MAO | | | |MA MO ， 即 M 再 OA 中垂线上， 1Mx ， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B ；利用两直线方程组求 H，最后根据 HFBF ， 列等量关系解出直线斜率 .取值范围 试题解析：（ 1）
15、解：设 ( ,0)Fc ，由 1 1 3| | | | | |cO F O A FA，即 1 1 3()cc a a a c ，可得2 2 23a c c ，又 2 2 2 3a c b ，所以 2 1c ，因此 2 4a ，所以椭圆的方程为 22143xy. （ 2）（ ）解：设直线的斜率为 k （ 0k ），则直线的方程为 )2( xky .设 ),( BB yxB ，由方程组)2(134 22xkyyx ，消去 y ，整理得 0121616)34(2222 kxkxk . 解得 2x ，或 34 6822 kkx ，由题意得 34 6822 kkxB，从而 34 122 k kyB. 由
16、（ ）知， )0,1(F ，设 ),0( HyH ，有 ),1( HyFH ， )34 12,34 49(222 k kk kBF .由 HFBF ，得 0HFBF ，所以 0341234 49222 k kyk k H，解得 kkyH 12492 .因此直线 MH 的方程为kkxky 12491 2 . 9 所以，直线的斜率的取值范围为 ),4646,( . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 16.【 2015 高考山东，理 20】平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 22: 1 0xyC a bab 的离心率为 32 ，左、右焦点分别是 12,FF，以 1F 为圆心以 3 为半径的
17、圆与以 2F 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上 . ( )求椭圆 C 的方程； （ ）设椭圆 22:144xyE ab， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m交椭圆 E于 ,AB两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q . ( i )求 OQOP的值； （ ii）求 ABQ 面积的最大值 . 【答案】（ I） 2 2 14x y；（ II） ( i )2；（ ii） 63 . 【解析】 试题分析：（ I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定 ,ab的值，从而得到椭圆 的方程；（ II）10 （ i）设 00,P x y ， OQOP ，由题意知 00,Q
18、x y，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定 的值 ; （ ii）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y，利用方程组 22116 4y kx mxy 结合韦达定理求出弦长 AB ，选将 OAB 的 面 积 表 示 成 关 于 ,km 的表达式2222 22 1 6 412 1 4k m mS m x x k 222224 1 4 1 4mmkk ，然后，令 2214m tk ，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出 OAB 的面积的最大值，并结合（ i）的结果求出 面积的最大值 . 试题解析：（ I）由题意知 24a ，则 2a ,又 2 2 23 ,2c a c ba 可得 1b , 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 14x y. （ II）由（ I）知椭圆 E 的方程为 22116 4xy, （ i）设 00,P x y ， OQOP ，由题意知 00,Q x y因为 2 200 14x y, 又 2200 116 4xy，即 22 200 144x y ,所以 2 ，即 2OQOP. 所以 2212 24 1 6 414kmxx k
