1、 1 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2018.1 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）复数 12ii A.2i B.2i C.2i D. 2i （ 2）在极坐标系中 Ox ，方程 2sin 表示的圆为 A. B. C. D. （ 3）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7 （ 4）设 m 是不为零的实数，则“ 0m ”是“方程 221xymm表示 的曲线为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充
2、分也不必要条件 （ 5）已知直线 0x y m 与圆 22:1O x y相交于 ,AB两点，且 AOB 为正三角形，则实数 m 的值为 A.32B.62C.32 或 32D.62 或 62 （ 6）从编号分别为 1,2,3,4,5， 6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A.15 B.25 C.35 D.452 （ 7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： 三棱锥的体积为 16 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥的四个面的面积最大的是 32 所有正确的说法是 A. B. C. D. （ 8）已知点 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px
3、p 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下列说法 错误 的是 A.使得 MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B.使得 MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C. 使得 4MKF 的点 M 有且仅有 4 个 D. 使得 6MKF 的点 M 有且仅有 4 个 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （ 9）点 (2,0) 到双曲线 2 2 14x y的渐近线的距离是 . （ 10）已知公差为 1 的等差数列 na 中， 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，则 na 的前 100 项和为
4、 . （ 11）设抛物线 2:4C y x 的顶点为 O ，经过抛物线 C 的焦点且垂直于 x 轴的直线和抛物线 C 交于 ,AB两点，则 OA OB . （ 12）已知 (5 1)nx 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64:1，则 n . （ 13）已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 42，点 M 是棱 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 内，点 Q 在线段 11AC 上，若 1PM ，则 PQ 长度的最小值为 . 3 （ 14）对仸意实数 k ，定义集合 20( , ) 2 0 ,0kxyD x y x y x y Rk x y . 若集合
5、 kD 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是 ； 当 0k 时，若对仸意的 ( , ) kx y D ，有 ( 3) 1y a x 恒成立，且存在 ( , ) kx y D ，使得 x y a成立，则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题 13 分） 如图，在 ABC 中，点 D 在 AC 边上，且 3 , 7 , ,36A D B C A B A D B C . （）求 DC 的值； （）求 tan ABC 的值 . （ 16）（本小题 13 分） 据中国日报网报道： 2017 年 11
6、月 13 日， TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（ 数值越小 ， 速度越 快 ，单位是 MIPS） 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 （）从品牌 A 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测
7、试结果小于 7 的概率； （）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） ； （）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件 .请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价 . 4 （ 17）（本小题 14 分） 如题 1，梯形 ABCD 中， / / , , 1 , 2 ,A D B C C D B C B C C D A D E 为 AD 中点 .将 ABE 沿 BE 翻折到1ABE 的位置，如图 2. （）求证
8、：平面 1ADE平面 BCDE ； （）求直线 1AB 与平面 1ACD 所成角的正弦值； （）设 ,MN分别为 1AE 和 BC 的中点，试比较三棱锥 1M ACD 和三棱锥 1N ACD （图中未画出）的体积大小，幵说明理由 . （ 18）（本小题 13 分） 已知椭圆 22: 2 9C x y，点 (2,0)P （）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （）过 (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 ,MN，设 MN 的中点为 T ，判断 TP 与 TM 的大小，幵证明你的结论 . 5 （ 19）（本小题 14 分） 已知函数 2( ) 2 2 2xf x e ax x . （）求曲线
9、 ()y f x 在点处的切线方程； （）当 0a 时，求证：函数 ()fx有且仅有一个零点； （）当 0a 时，写出函数 ()fx的零点的个数 .（只需写出结论） （ 20）（本小题 13 分） 无穷数列 na 满足： 1a 为正整数，且对仸意正整数 n ， 1na 为前 n 项 1a ， 2a ， ， na 中等于 na 的项的个数 . （）若 1 2a ，请写出数列 na 的前 7 项； （）求证：对于仸意正整数 M ，必存在 *kN ，使得 kaM； （）求证 :“ 1 1a ”是“存在 *mN ，当 nm 时，恒有 2na na 成立”的充要条件。 6 海淀区高三年级第一学期期末练习
10、参考答案 2018.1 数学（理科） 阅卷须知 : 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数 . 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 . 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B A D C D C 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .(有两空的小题第一空 3 分 ) （ 9）255（ 10） 5050 （ 11） 2 （ 12） 6 （ 13） 33 （ 14） (1,1) 12, 5 三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80 分 . 15.（本小
11、题 13 分） 解：（）如图所示， 3 6 6D B C A D B C ， .1 分 故 DBC C ， DB DC .2 分 设 DC x ，则 DB x ， 3DA x . 在 ADB 中，由余弦定理 2 2 2 2 c o sA B D A D B D A D B A D B .3 分 即 2 2 217 (3 ) 2 3 72x x x x x ， .4 分 解得 1x ，即 1DC . .5 分 （）方法一 .在 ADB 中，由 AD AB ，得 60ABD ADB ，故 3 6 2A B C A B D D B C .6 分 在 ABC 中，由正弦定理 sin sinAC ABA
12、BC AC B .7 分 即 471sin2ABC ，故 2sin 7ABC， .9 分 7 由 ( , )2ABC ，得 3cos7ABC ， .11 分 22ta n 333ABC 13 分 方法二 . 在 ADB 中，由余弦定理 2 2 2 7 1 9 1c o s2 2 7 1 2 7A B B D A DABD A B B D .7 分 由 (0, )ABD ，故 33sin27ABD .9 分 故 tan 3 3ABD .11 分 故333t a n t a n263t a n t a n ( ) 363 31 t a n t a n 1 3 36 3ABDA B C A B DA
13、BD 13 分 16. （本小题 13 分） （）从品牌 A 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有： 测试 1、 2、 5、 6、 9、 10、 11，共 7 次 设该测试结果打开速度小于 7 为事件 A ，因此 7()12PA .3 分 （） 12 次测试中，品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数有： 测试 1、 3、 4、 5、 7、 8，共 6 次 随机变量 X 所有可能的取值为： 0， 1， 2， 3 3066312 1( 0) 11CCPX C 2166312 9( 1) 22CCPX C 1266312 9( 2 ) 22CCPX C 0366312
14、1( 3) 11CCPX C .7 分 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 111 922 922 111 .8 分 8 1 9 9 1 3( ) 0 1 2 31 1 2 2 2 2 1 1 2EX .10 分 （）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，幵给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分 . 给出明确结论， 1 分； 结合已 有数据，能够运用以下 8 个标准中的仸何一个陈述得出该结论的理由， 2 分 . 13 分 . 标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品
15、牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度） 标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动） 标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平
16、均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的 平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B） 标准 4：会用品牌 A前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A后 6 次测试结果的方差小
17、于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B） 标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于 B） 标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 这12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B） 标准 7
18、：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B） 标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这 12次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌 B
19、 打开文件的速度相当） 参考数据 期望 前 6 次 后 6 次 12 次 品牌 A 5.50 9.83 7.67 品牌 B 4.33 11.83 8.08 9 品牌 A与品牌 B 4.92 10.83 方差 前 6 次 后 6 次 12 次 品牌 A 12.30 27.37 23.15 品牌 B 5.07 31.77 32.08 品牌 A与品牌 B 8.27 27.97 17. （本小题 14 分） （）证明：因为 1BE AE ， BE DE ， 1AE DE EI ， 1AE ， DE 平面 1ADE .1 分 所以 BE 平面 1ADE .2 分 因为 BE 平面 BCDE ，所以平面
20、1ADE 平面 BCDE .3 分 （）解：在平面 1ADE 内作 EF ED ， 由 BE 平面 1ADE ，建系如图 . .4 分 则1 13(0, , )22A， (1,0,0)B ， (1,1,0)C ， (0,1,0)D ， (0,0,0)E . 1 13(1, , )22AB uuur 1 13(0, , )22AD uuur ， (1,0,0)DCuuur ， .7 分 设平面 1ACD 的法向量为 ( , , )n x y zr ，则 1 00n ADn DC r uuurr uuur ，即130220yzx ，令 1z 得， 3y ， 所以 (0, 3,1)nr 是平面 1A
21、CD 的一个方向量 . .9 分 11136c o s , 422| | | |A B nA B n A B n u u ur ru u ur r u u ur r .10 分 所以 1AB 与平面 1ACD 所成角的正弦值为 64 . .11 分 B CEDA 1zxyMN10 （）解：三棱锥 1M ACD 和三棱锥 1N ACD 的体积相等 . .12 分 理由如 : 方法一：由 13(0, , )44M， 1(1, ,0)2N ，知 13(1, , )44MN uuur，则 0MN nuuur r 因为 MN 平面 1ACD ，所以 /MN 平面 1ACD . .13 分 故点 M 、
22、N 到平面 1ACD 的距离相等，有三棱锥 1M ACD 和 1N ACD 同底等高，所以体积相等 . .14 分 方法二：如图，取 DE 中点 P ，连接 MP ， NP ， MN . 因为在 1ADE 中， M ， P 分别是 1AE ， DE 的中点，所以 1/MP AD 因为在正方形 BCDE 中， N ， P 分别是 BC ， DE 的中点，所以 /NP CD 因为 MP NP P ， MP ， NP 平面 MNP ， 1AD ， CD 平面 1ACD 所以平面 MNP / 平面 1ACD 因为 MN 平面 MNP ，所以 /MN 平面 1ACD .13 分 故点 M 、 N 到平面
23、 1ACD 的距离相等，有三棱锥 1M ACD 和 1N ACD 同底等高，所以体积相等 . .14 分 B CE DA 1MNPB CE DA 1MNQ法二法三 方法三：如图，取 1AD中点 Q ，连接 MN ， MQ ， CQ . 因为在 1ADE 中， M ， Q 分别是 1AE ， 1AD 的中点，所以 /MQ ED 且 12MQ ED 因为在正方形 BCDE 中， N 是 BC 的中点，所以 /NC ED 且 12NC ED 所以 /MQ NC 且 MQ NC ，故四边形 MNCQ 是平行四边形，故 /MN CQ 因为 CQ 平面 1ACD ， MN 平面 1ACD ，所以 /MN 平面 1ACD . .13 分
