1、1一类被开发的 Holling II 类功能反应模型的极限环存在性和唯一性【摘 要】文章探讨了一类具有收获率的 Holling II 类功能反应模型的生态系统，讨论了此系统在某种情况下极限环的存在性，进一步讨论了极限环在一定条件下的唯一性。 【关键词】极限环 一、引言 本文讨论的模型为 模型中被捕食者与捕食者的种群密度分别由 x，y 表示；r1，r2，q1，q2，E，aii（i=1，2）0，在生态系统中各自有不同的生态意义；r10；从现实情况出发，在区域 =x，y：x0，y0 内对系统（1）进行分析。对系统作改变，得： 易得：A10，A20，B10，B20 二、极限环的存在性与唯一性 本节将从
2、系统的变分矩阵行列式出发讨论系统极限环的存在性和唯一性。 系统（2）在平面坐标 y 方向的等倾线为：x=0 与 y=A1+A2x+A3x2 系统（2）在平面坐标 x 方向的等倾线为：y=0 现在考虑 y=A1+A2x+A3x2 与 y=0 的交点问题。即考虑如下方程的解得问题：M（x）=y=A1+A2x+A3x2=0，=A22-4A1A3 .对 M（x） 求导并令2其为 0 可得到方程： M（x）=2A3x+A2=0，M（x）=0 只有唯一根 当 M（1）0，B2=1 时，系统（2）变为： （3） 系统的垂直方向的等倾线为：x=0 与 y=A1+A2x+A3x2 系统的水平方向的等倾线为：y=
3、0，x=1 此时，y=A1+A2x+A3x2 与 x=1 在区域 内有交点 R（1，y0） ，其中y0=M（1） 定理 2.1 若 A20，00，由文中的 Hopf 分支定理我们可以得到，当y0=A1+A2+A30，0f（u）=-A2eu-2A3e2u，可知 f（0）=-A2-2A3，从而有 （1）f（u） ，g（u）C（-，+） ，g（u）满足 Lipschiz 条件； 3（2） u0 时，ug（u）0，G（u）=u0g（x）dx=ex-x|u0=eu-u-1，G（）=+； （3） 只要分子 L（u）=-2A3e3u+4A3e2u+A2eu 小于 0，即可判断该导数小于 0，而 L（u）=-
4、e2u（-2A3eu-2A2e-u-4A3）-2A3e2u（-A2-2） ，又因为A20；（v）C（-，+） 单调且满足 Lipschiz 条件，（v）在 v=0 左导数、右导数存在，且+（v）-（v）0 由张芷芬唯一性定理知（3） ，次系统只可能存在一个极限环，如果存在的话，系统一定稳定 综上，当 y0=A1+A2+A30，01 时，系统（3）有且只有一个稳定的极限环。 参考文献 1 陈兰荪.数学生态模型与研究方法M.北京：科学科技出版社，1998. 2 张锦炎.常微分方程几何理论及分支问题M.北京：北京大学出版社，1987. 3 张芷芬等.微分方程定性理论M.北京：科学出版社，1985. 44 陈兰荪，井竹君.捕食者-食饵相互作用中微分方程的极限环存在性和唯一性J，科学通报，1984（29）.
