1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） 文科数学 注意事项： 1本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。答卷前 ， 考生 务必 将自己的姓名、准考证号填写在 本试卷和 答题卡 相应位置 上。 2回答第 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3答第 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第 卷 一 . 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给 出的四个选项中，只有一项是 符合要求的。 （ 1） 已知集合 123
2、A ， ， ， 2 | 9B x x，则 AB （ ） （ A） 2 1 0 1 2 3， ， ， ， ， （ B） 2 1 0 1 2， ， ， ， （ C） 123， ， （ D） 12， 【答案】 D来源 :gkstk.Com 考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算 . 【名师点睛 】 集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理 . （ 2）设复数 z 满足 i 3 iz ， 则 z =（ ） （ A） 1 2i （ B） 12i （ C） 32i （ D） 32i 【答案】 C 【解析】 试题分析：由 3z i i 得， 32zi ，所以 32zi ，故
3、选 C. 考点： 复数的运算，共轭复数 . 【名师点睛】复数 ( , R)a bi a b的共轭复数是 ( , R)a bi a b，两个复数是共轭复数，其模相等 . (3) 函数 = sin( )y A x 的部分图像如图所示 ， 则 （ ） （ A） 2sin(2 )6yx（ B） 2sin(2 )3yx（ C） 2sin(2 + )6yx（ D） 2sin(2 + )3yx【答案】 A 考点： 三角函数图像的性质 【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是： 先根据函数图像的最高点、最低点确定 A， h 的值，函数的周期确定 的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定 值 (4) 体积为
4、8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） （ A） 12 （ B） 323 （ C） （ D） 【答案】 A 【解析】 试题分析：因为正方体的体积为 8， 所以棱长为 2，所以正方体的体对角线长为 23，所以正方体的外接球的半径为 3 ，所以球面的表面积为 24 ( 3) 12，故选 A. 考点： 正方体的性质，球的表面积 . 【名师点睛】棱长为 a 的 正方体中有三个球： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球 .其半径分别为 32a 、2a 和 22a . (5) 设 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，曲线 y=kx （ k0）与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k
5、=（ ） （ A） 12（ B） 1 （ C） 32（ D） 2 【答案】 D 考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质 . 【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置 . 对函数 y=kx ( 0)k ，当 0k 时，在 ( ,0) ，(0, ) 上是减函数，当 0k 时，在 ( ,0) ， (0, ) 上是增函数 . (6) 圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1，则 a=（ ） （ A） 43（ B） 34（ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 【解析】 试题分析：由 22 2 8 1 3 0x y x y 配方得 22( 1) ( 4 ) 4
6、xy ，所以圆心为 (1,4) ，半径 2r ，因为圆 22 2 8 1 3 0x y x y 的圆心到直线 10ax y 的距离为 1， 所以22| 4 1| 11aa ，解得 43a ， 故选 A. 考点： 圆的方程，点到直线的距离公式 . 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离 . 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 【答案】 C 考
7、点： 三视图，空间几何体的体积 . 【名师点睛】 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元 素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解 (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 .若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 （ ） （ A） 710（ B） 58（ C） 38（ D） 310 【答案】 B 【解析】 试题分析：因为红灯持续时间为 40 秒 .所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 15 540 8 ，故选 B. 考点： 几何概
8、型 . 【名师点睛】 对于几何概型的概率公式中的 “ 测度 ” 要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握 “ 测度 ” 为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图，若输入的 a为 2， 2， 5，则输出的 s=（ ） （ A） 7 （ B） 12 （ C） 17 （ D） 34 【答案】 C 考点： 程序框图，直到型循环结构 . 【名师点睛】 识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法
9、框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答对框图的考查常与函数和数列等结合，进一步强化框图问题的实际背景 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 （ ） （ A） y=x （ B） y=lgx （ C） y=2x （ D） 1yx【答案】 D 【解析】 试题分析： lg10 xyx，定义域与值域均为 0, ，只有 D 满足，故选 D 考点： 函数的定义域、值域，对数的计算 . 【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数 形结合思想求解 . (11) 函数 ( ) c o s 2 6 c o s ( )2f x
10、x x 的最大值为 （ ） （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 【答案】 B 【解析】 试题分析：因为 22 3 1 1( ) 1 2 sin 6 sin 2 ( sin )22f x x x x ，而 sin 1,1x ，所以当 sin 1x 时，取最大值 5，选 B. 考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质 . 【名师点睛】求解本题易 出现的错误是认为当 3sin 2x 时，函数 23 1 12 (sin )22yx 取得最大值 . (12) 已知函数 f(x)（ x R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（ x
11、1,y1）， (x2,y2)，（ xm,ym），则1 =mii x（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】 B 考点： 函数的奇偶性，对称性 . 【名师点睛】 如果函数 ()fx， xD ， 满足 xD ， 恒有 ( ) ( )f a x f b x ， 那么函数的图象有对称轴 2abx ；如果函数 ()fx， xD ， 满足 xD ， 恒有 ( ) ( )f a x f b x ， 那么函数的图象有对称中心 . 二填空题：共 4 小题，每小题 5 分 .来源 :学优高考网 gkstk (13) 已知向量 a=(m,4)， b=(3,-2)，且 a b，则 m=_. 【
12、答案】 6 【解析】 试题分析：因为 a b，所以 2 4 3 0m ，解得 6m 考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量 . 【名师点睛】 如果 a (x1， y1)， b (x2， y2)(b 0)， 则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1 0. (14) 若 x， y 满足约束条件 103030xyxyx ，则 2z x y 的最小值为 _ 【答案】 5 考点： 简单的线性规划 . 【名师点睛】 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平 面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形
13、后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 （ 15） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 4cos 5A ， 5cos 13C ， a=1， 则 b=_. 【答案】 2113 【解析】 试题分析： 因为 45co s , co s5 1 3AC，且 ,AC为三角形内角，所以 3 1 2sin , sin5 1 3AC，13s i n s i n ( ) s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 65B A C A B A C A C ， 又因为 sin sinabAB ，所以 sin 21si
14、n 13aBb A. 考点： 正弦定理，三角函数和差公式 . 【名师点睛】 在解有关三角形的题目时 ， 要有意识地考虑用哪个定理更适合 ， 或是两个定理都要用 ， 要抓住能够利用某个定理的信息一 般地 ， 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 ， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式 ， 则考虑用正弦定理；以上 特征都不明显时 ，则要考虑两个定理都有可能用到 （ 16） 有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，
15、 丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _. 【答案】 1 和 3 【解析】 试题分析： 由题意分析可知甲 的卡片上数字为 1 和 3，乙的卡片上数字为 2 和 3，丙卡片上数字为 1 和 2. 考点： 逻辑推理 . 【名师点睛】 逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即 “ 演绎 ” ，得出具体陈述或个别结论的过程 .演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用 .逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） (本小题满分 12 分 ) 等差数列
16、 na 中， 3 4 5 74 , 6a a a a . （ ） 求 na 的通项公式； （ ） 设 nnba ，求数列 nb 的前 10 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9=0,2.6=2. 【答案】 （） 235n na ；（） 24. 试题解析： ( )设数 列 na 的公差为 d，由题意有 112 5 4 , 5 3a d a d ，解得1 21, 5ad， 所以 na 的通项公式为 235n na . （）由 ( )知 235n nb ， 当 n 1,2,3 时， 231 2, 15nn b ； 当 n 4,5 时， 232 3, 25nn b ； 当 n 6,7
17、,8 时， 233 4, 35nn b ； 当 n 9,10 时， 234 5, 45nn b ， 所以数列 nb 的前 10 项和为 1 3 2 2 3 3 4 2 2 4 . 考点：等差数列的性质 ，数列的求和 . 【名师点睛】求解本题会出现以下错误： 对“ x 表示不超过 x 的最大整数 ”理解出错； （ 18） (本小题满分 12 分 ) 某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其 上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 20
18、0 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 5 来源 :学优高考网 频数 60 50 30 30 20 10 （ ） 记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” .求 ()PA的估计值； （ ） 记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160” . 求 ()PB的估计值； （ III）求续保人本年度的平均保费估计值 . 【答案】 （）由 60 50200 求 ()PA的估计值；（）由 30 30200 求 ()PB的估计值； （ III）根据平均值得计算公式求解 . 试题解析： （ ） 事件 A 发生当且仅当一年内出
19、险次数小于 2.由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为60 50 0.55200 ， 故 P(A)的估计值为 0.55. （）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于4 的频率为 30 30 0.3200 ， 故 P(B)的估计值为 0.3. 考点： 样本的频率、平均值的计算 . 【名师点睛】 样本的数字特征常见的命题角度有： (1)样本的数字特征与直方图交汇； (2)样本的数字特征与茎叶图交汇； (3)样本的数字特征与优化决策问题 . （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E 、 F 分别在 AD ， CD 上， AE CF ， EF 交 BD 于点 H ，将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置 .学优高考网 （ ） 证明： AC HD ； （ ） 若 55 , 6 , , 2 24A B A C A E O D ,求五棱锥 D ABCEF 体积 . 来源 :学优高考网 【答案】 （）详见解析；（） 694 . 【解析】 试题分析： （）证 / .AC EF 再证 / .AC HD （）根据勾股定理证明 ODH 是直角三角形， 从而得到
