1、1灵活处理课本例（习）题培养学生思维能力摘 要：培养学生思维能力是数学教学的重要目标，如何能实现这一目标.灵活处理认真研究课本的例（习）题，挖掘并掌握其中丰富内涵，是一种行之有效办法，其对培养学生思维发散性、灵活性、深刻性、创造性、广阔性都有很大作用。 关键词：思维能力 课本例（习）题 例（习）题是教材的重要组成部分，这些例（习）题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都是至关重要。 一、引申拓广，培养思维的发散性 教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论
2、、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维. 例 1 数学必修P122 第 3 题证明：对任意 a，b，c，dR，恒有不等式 （ac+bd）2（a2+b2） （c2+d2） （1） 先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问：能否有更新颖的证法呢？ 2引导学生抓住“a2+b2” 、 “c2+d2”、 “ac+bd”的结构特征，因此可考虑用构造法证明. 证法 1 （向量法） 构造向量 u=（a，b） ， v=（c，d） ， uv=|u|v|cos（其中 为向量 u 与 v
3、夹角） 则 ac+bd= ， （ac+bd）2=（a2+b2） （c2+d2） cos2 （a2+b2） （c2+d2） 证法 2（构造三角形）利用“三角形的两边之和大于第三边” （上图中 OBCA 为平行四边形） 由|OA|+|OB|AB|及|OA|+|OB|OC|，不等式迅速得证. 由解法一不少学生都能发现 a 与 b，c 与 d 可交换位置. 变 1求证：（a2+b2） （c2+d2）（ad+bc） 2 变 2式两边开方可否？ 求证： |ac+bd| 变 3式右边去掉绝对值可否？ 求证： ac+bd 对于式能否有更深刻的变化呢？将不等式字母分别排序，得 （a12+a22） （b12+b2
4、2）（a1 b1+a2 b2） 2 通过分析知道，可以按字母增加的方向演变. 变 4设 a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3R， 求证：（a12+a22+a32） （b12+b22+b32） 3（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广。 推广 设 ai，biR（i=1，2n） ，则 （a12+a22+an2） （b12+b22+bn2） （a1 b1+a2 b2+an bn） 2 （当且仅当 ai=kbi 时，取“=”号） 这是一个重要的定理，叫柯西不等式.不等式、即柯西不等式当n=2 和 n=3 时的特例。 如此层层
5、推进，使结论更加完美，更具有普遍性. 上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生的发散思维. 二、融会贯通，培养思维的灵活性 数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此，在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的灵活性。 如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题，而有
6、关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题。4三、揭示规律，培养思维的深刻性 有些例、习题蕴含着解题思路或方法上的规律性，教师要有意识地引导学生去分析、归纳、挖掘、提炼，以总结出这些规律，并使学生深刻领会，牢固掌握，能用于解类似的问题，这有利于提高学生思维品质的深刻性。 例 3 数学必修练习： 等差数列an的前 n 项和是 Sn=5n2+3n，求它的前 3 项，并求它的通项公式. 多数学生解为：S1=a1=8， S2=a1+a2=26 a2=S2-a1=18， d=a2-a1=10， a3=a2+d=28， an=10n-2，教学不应就此结束，可继续设问：“若等差数列这个条件去掉，应该
7、怎样求 an？”经过总结归纳，可以发现： Sn=a1+a2+an Sn-1=a1+a2+an-1， an=Sn-Sn-1，这实际上就得到了有价值的通法了，即：凡是已知 Sn，抓住 Sn 与 an 的关系 an= an 学生掌握了此规律，以后处理类似问题就不费周折了。 再进一步推广、深化例 3： Sn 是数列an的前 n 项的和，若对任何自然数 n， Sn=an2+bn（a、bR 且 ab0）可以证明数列an是公差为 2a 的等差数列.再进一步追问，若 Sn=an2+c（c0） ，数列an是等差数列吗？为什么？ 5如此层层深入思考，分析归纳，不断深化，有效地训练和培养了学生思维的深刻性。 四、标
8、新立异，培养思维的创造性 例、习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，锻炼学生思维创造的目的。 五、联想转化，培养思维的广阔性 数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支，不同部分，都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进知识的正向迁移，培养思维的广阔性。 综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标。
