1、概率论与数理统计复习题一、 填空题1 事件 、 、 中至少有一个发生可用 、 、 表示为ABCABCCBA2 若事件 、 满足 ，则称 、 _相互独立)(|(P3 若随机变量 的分布律为X1 0 1 2kp0.3 0.2 0.1 0.4则 0.6)(E1.已知 P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且 A 与 B 独立，则 P(B)= 3/8 ;2.设 A,B 是两个随机事件，P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则 P(A-B)= 0.4 ;3. 设事件 A 与 B 相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则 P(AB)= 0.7 ;4. 事件 A 与 B 满足 P(A)=0.5,P
2、(B)=0.6, P(B|A)=0.8,则 P(AB)= 0.7 ;5.袋中有大小相同的红球 4 只，黑球 3 只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ；6.某射手每次击中目标的概率为 0.28，今连续射击 10 次，其最可能击中的次数为 3 ;8. 设随机变量 X 服从1，5上的均匀分布，当 时，512x)(21xXP412x10. 设随机变量 X 的概率分布为则 0.7 ；)1(2P11.设随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),且 E(X)=15,D(X)=10,则 n= 45 ;14.设随机变量 XN(1,4), 则 0.3753 ；,932.0)51(,69.0)5( )(XP15.
3、已知总体 XN(0，1)， 是来自总体 X 的样本，则 n,21 21nii(16. 已知总体 X 是来自总体 X 的样本，要检验 则nXN,),(21 ,:200H采用的统计量为 ；20Sn17.设 T 服从自由度为 n 的 t 分布，若 则,)(TP)(TP21X -1 0 1 2P 0.1 0.3 0.2 0.418.若 是参数 的无偏估计量，则有 E( )= ; 19. 若 均为参数 的无偏估计量，若 ，则 比 更有效 .21,)(21D1220.在假设检验中，显著性水平 是用来控制犯第一类错误的概率；第一类错误是指 弃真错误 ；21. 在假设检验中，把符合 的总体判为不符合 加以拒绝
4、，这类错误称为0H0H弃真错误 ；22. 在假设检验中，把不符合 的总体当成符合 的总体加以接受，这类错00误称为 第二类取伪错误 ；25.若随机变量 和 的数学期望分别为 ，则 3.1XY7.)(,5.)(YEX)32(YX二、 单项选择题.1.已知 P(A)=p,P(B)=q,且 A 与 B 互斥，则 A 与 B 恰有一个发生的概率为（ A ）A. p+q B. 1-p+q C. 1+P+q D. P+q-2pq2.设 A,B 是两个随即变量，若当 B 发生时 A 必发生，则定有（ B ）A. P(AB)=P(A) B. P（A+B）=P(A)C. P(B|A)=1 D. P(B|A)=P
5、(A)3.若 A,B 之积为不可能事件，即 ，则 A 与 B（ B ）A. 独立 B. 互不相容 C. 对立 D. 相等4.设 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B( A )A. 独立 B. 互不相容 C. 对立 D. 相等5.设随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),则 （ B ）)(XEDA. n B. 1-p C. P D. p16.设随即变量 X 服从正态分布 其概率密度的最大值为（ D ）),(2NA. 0 B. 1 C. D. 21)(7. 设随机变量 X 的概率分布为则 a,b 分别等于（ D ）A. B. 41,6ba 125,baX 1 2 3 4P a b6C.
6、D. 152,ba 31,4ba8. 已知总体 X 是来自总体 X 的样本，则样本均值 所服从的分nXN,),(21 X布为（ B ）A. N(0,1) B. C. D. ),(2),(2N),(2nN9.在总体中抽取容量为 5 的样本，其样本观察值为 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，则其样本均值为（ B ）A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 0.00110.设总体 X 已知，先从总体中抽取容量为 n 的样本， 分别为样本2),(N 2SX及均值和样本方差，则 的置信区间为（ D ）-1的 置 信 度 为A. )(,)(22 nStXnSt （B. )1(,)1(22uuX
7、（c. )(,)(22 ntXnt （D. )1(,)1(22uuX（三、 计算题.一、在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。 （1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。 （1）该数是奇数的可能个数为 个，所以出现奇数的概率5 483为 .0148（2）该数大于 330 的可能个数为 ，所以该数大于 330 的概率为52.1. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，其 它02)(xx求（1）常数 （2）E(X) (3) P(1X3)解：
8、（1）根据 ，得到 ；2)(120dxxf 21（2） ；342)(0dXE（3） ；411xP2. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，其 它01)(4xx求（1）常数 （2） 21P解：（1）根据 ，得到 ；5)(104dxxf（2） 325214XP3. 设随机变量 X 的概率密度函数为 且 E(X)=7/12,，其 它01)(xbax求常数 a,b 解：由 12)()(10 bdxadx73)()()(10bXE解得 . 2,ba4. 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X 表示铃响至结束讲解的时间。设 X 的概率密度为 ， （1）确他其0)
9、(2xkxf定 ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求 。k1P21P3XP解：（1）根据 ，得到 ；3)(102kdxxf（2） ；271331/02dxXP（3） ；64432/14/ （4） 。2719331/2dxXP5. 一只盒子装有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 ， “另一只也是红球”记为事件A。则事件 的概率为BA（先红后白，先白后红，先红后红）653142)(P所求概率为 562)(|(AB6. 一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关
10、节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件 ， “一名被检验者确实患有关A节炎”记为事件 。根据全概率公式有B，%1.249085%10)|()|()( BAPPA所以，根据条件概率得到所要求的概率为6.17.2)()(1|)()|( 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为 17.06%.7. 在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有 95%是可信的。
11、又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件 ， “一讯息是可信的”记为事件 。根AB据 Bayes 公式，所要求的概率为 %947.1.05%9)|()|(|)(|( BPABPABP8. 计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故
12、障而被破坏”记为事件 ， “程序在 A,B,C 三台打字机上打M字”分别记为事件 。则根据全概率公式有321,N，025.4.105.301.6)|()(31 i iiMPP根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为，2.05.)(|)|(111 NN，6.3)(|)|( 222 MPP。1.05.4)(|)|(333 NN9. 在一批 12 台电视机中有 2 台是次品，若在其中随即地取 3 台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为 0，1，2 台的概率分别为， ， 。16320Cp29310Cp312Cp所以取
13、到的电视机中包含的次品数的数学期望为。)(台E10. 在美国，致命的汽车事故所占的比例 X 的概率密度为，其 他,01,)1(42)(5xxf求 X 的数学期望。解： 10621052 )(7)(4)()( xdxdxfE107710710662 )(2)()()()(7 dxdx=1/4。11. 以 X 表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计） ，设 ，今取得)196,(NX一容量为 的样本，测得其样本均值为 ，求（1） 的置信水平为 0.95 的27n478x置信区间， （2） 的置信水平为 0.90 的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论， 的置
14、信水平为 的置信区间为 。12/Znx（1） 的置信水平为 0.95 的置信区间为。58.149,2.658.134796.14817279648025. （2） 的置信水平为 0.90 的置信区间为。0.,.0.5.105.Z12. 以 X 表示某种小包装糖果的重量（以 g 计） ，设 ，今取得样本（容量为)4,(NX）：10n55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46求 的置信水平为 0.95 的置信区间。解：计算得： 。8.56x的置信水平为 0.95 的置信区间为。04.58,624.1856
15、9.140.104.25. Z13. 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从 30 车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8设样本来自正态总体 ， 均未知。求 的置信水平为 90%的置信区间。),(2N2,解： 的无偏估计值为2,， 。72.14x 9
16、072.1)(12niixs的置信水平为 90%的置信区间为 148.5,.48.69.3085.)(05. ntsx14. 一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的 12 块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计） ，得样本均值 分，样本标准差 分。设样本来自正.x.9s态总体 ， 均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95 的置信区间。),(2N2,解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95 的置信区间为。27.,3.6097.536201.493.6)1(025. ntsx16. 设 X 是春天捕到的某种鱼
17、的长度（以 cm 计） ，设 ， 均未知。下),(2NX2,面是 X 的一个容量为 13 的样本：n13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0求 的置信水平为 0.95 的置信区间。解：根据题中数据计算可得 。75.32s的置信水平为 0.95 的置信区间为2，86.102,4.940.75312,7.312)(,)1(2975.0205. nsns所以 的置信水平为 0.95 的置信区间为。.,.86.12,.9)1(,)(2975.0205. ss17. 美国公共健康杂志（1994 年 3
18、 月）描述涉及 20143 个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是 38.4%（范围是 6%到 71.6%） ，在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于 38.4%，抽取了 15 个病人测得平均摄取量为 40.5%，样本标准差为 7.5%。设样本来自正态总体 ， 均未),(2N2,知。试取显著性水平 检验假设： 。05.4.38:,4.38:10H解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为。nsxt/.代入本题具体数据，得到 。084.15/.7340t检验的临界值为 。2)1(025.t因为 ，所以样本值没有落入
19、拒绝域中，故接受原假设 ，即认48.t 0H为平均摄取量显著地为 38.4%。19. 一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为 5000（小时 2） ，为了检验这一主张，随机地取 26 只电池测得样本方差为 7200 小时 2，有理由认为样本来自正态总体。现需取 检验假设 。02.50:,50:2120 H解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。检验统计量为。50)(22sn代入本题中的具体数据得到 。367162检验的临界值为 。3.4)5(01.因为 ，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设 ，即认为362 0H电池寿命的方差为 5000 小时 2。20. 某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差 ，随机地取 10 只新类型的6.1电池测得它们的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136设样本来自正态总体 ， 均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取),(2N2,）： 。05.210 6.:6.: H解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。检验统计量为。226.1)(sn代入本题中的具体数据得到 。22(039.检验的临界值为 。9)025.因为 ，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设 ，即认为电2391 0H池容量的标准差发生了显著的变化，不再为 1.66。
