1、高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 9 -作业题答案1 计算极限 .2)0,(, )1sinlmyxyx解：利用 ，得il0tt )1()1(sinl)1sin(l 2)0,(,2)0,(, yxyyxyxyx)(lim)(ilm)0,(2)0,(, yyxyx.12 设 ，求 .lnarctnzxydz解： ， ，21lx 21)ln(yxxy所以 .ddyxdz 22)l(ln3 设 ，其中 具有一阶连续偏导数，求 .),(2fuf yux,解： ， .21fxyf12fxyu4 设 ，求 .23sinveyxuv,解：方程组中两个方程分别对 求导，得 ，yy
2、vue61cos0所以 ，uuvvevyu)cos6(cos6.u1高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 10 -5 设 ，求证： .)0,1(yxuyz uzyuzx解：将 y 和 z 视为常量，对 x 求导，得 ；1yzx将 x 和 z 视为常量，对 y 求导，得 ；xyzyuz lnln2将 x 和 y 视为常量，对 z 求导，得 ，zxzzl1l从而= = .zyxuz xyzxyxyzz lnl)(21uyz6 已知函数 由方程 确定，求 .)(06e)0(解：方程两边对 求导，得x，26xyey上式两边对 求导，得.06)(2 yy又 ，所以 .00|6
3、xye 0221()()6xyyey7 求圆周曲线 在点 处的切线和法平面方程.45322z),(M解：方程两边对 求导，并移项得：x253dxzy， ，zydx61045zdxz61049， .9)1,( )1,(从而可取切向量 ，故所求切线方程为： ,6T 1916zyx法平面方程为： 即 .0)(9)(zyx 024高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 11 -8 证明曲面 上任意一点的切平面在各坐标轴上截距的平方和等3232azyx于常数 .a解：令 ，则 3232),(zyxzyF， ， ，312x1y 1z故在曲面上任一点 处切平面方程为：),(0x.0
4、)()(31031031 zy上式中令 得切平面在 轴上截距为：zyx.32103203210320310 )()( axzyzx由曲面方程对称性可知切平面在 轴上截距分别为：,， .3210ay3210a因此， .234222 )() azyxzx 9 如果函数 在点 处的从点 到点 方向导数为 2，从点,(yf,1A,1(),(B到点 方向导数为 ，求：),1A)C该函数在点 处梯度；(2,(点 处的从点 到点 方向的方向导数.)2),),1A)6,4(D解：已知： ， ，0,(AB,(C,3 2)1(0)2,1()(0)2,1(2yx ff，,xf,yf.)(2),()2,1(),().
5、1( jijigradyx.2 514234,143, 22)2,1( yxffADf高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 12 -10. 一厂商通过电视和报纸两种方式做销售某种产品的广告。据统计资料，销售收入（万元）与电视广告费用 （万元）及报纸广告费用 （万元）之间的关系有Rxy如下的经验公式：,210832145xy试在广告费用不限的前提下，求最优广告策略.（提示：所谓最优广告策略是指，如何分配两种不同传媒方式的广告费用，使产品的销售利润达到最大。 ）解：设利润函数为 ，则),(yxf 22),(,108315, RyxyxyRf 由 ,204yxfyx解得唯
6、一驻点（0.75，1.25）,根据实际意义知，利润 一定有最大值，且在定义域内),(yxf有唯一的驻点，因此可以断定，该点就是利润的最大值点。因此当 （万元） ，75.0（万元）时，厂商获得最大利润 （万元） 。25.1y 2.39)5.1,70(f练习题答案1. 设 ，求)ln(1)ln,( xyexyf),(yf解：令 ， ，则uv，vuxyyxxy eeexyfvf 2ln2)(l)l()l,(),( 所以 .yxef2),(2. 设 ，其中 f 可导，求 .yxfz21xz解： .yfzx12高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 13 -3. 已知 ，而 是
7、由方程 确定的 x，y 的函数，求 .xeytt 122xty dxy解：将两个方程对 x 求导数，得 02)(xtyet解方程可得.tyetdx)(24. ),0(01sin)(),( 222yxyxfz（1） 在 处是否连续？),(（2） 是否存在？,yxff（3） 偏导数 在 处是否连续？),(xy0,（4） 在 处是否可微？),(xf0,解：（1）函数 在 处是否连续，只要看 是否成立.因),( )0,(),(lim0fyxfy为 ),(lim0yxfy2201sin)(lixyx ).,(1sinl20f所以 在 处连续.,f,（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定
8、义来求.因为 ,0)(1sinlm0)(1sin)(lim)0,(),(lim 22200 xxxff xxx所以 ，类似地可求得 .),(xf ),(yf(3) 当 时,y 32222 1cos)(1sin2),( yxyxyxxfx高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 14 -.2221cos1sin2yxyxyx因为 不存在，22200ilim),(liyfxxy所以 在 处不连续。同理 在 处也不连续,fx, ),(yxf0,（4）由于 在 处不连续，所以只能按定义判别 在),(yxffx ),(yxf处是否可微.)0,(由 ， ，故0),(xf 0),(y
9、f 2220220 )(01sin)(lim)(,limyxyxyxffzyyx 2220 )(1sin)(liyxyx.1sinl0yx由全微分定义知 在 处可微，且),(yxf0, .),(df5. 求曲面 平行于平面 的切平面方程.2132z 064zyx解：曲面在点 的法向量为 n ，),(yx ),2(),(zyxFz已知平面的法向量为 n (1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以 n/n ,从而有1 1（1）62z又因为点在曲面上，应满足曲面方程（2）2132zyx由（1） 、 （2）解得切点为(1,2,2)及 ,),(所求切平面方程为： 0)2(6)(4)1( zyx或 。
10、高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 15 -6. 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿12zyx ),(zyxf22zy方向的方向导数最大.)0,1(l解：因为 e , 所以02,l 021zfyfxfl )(2yx由题意，要考查函数 在条件 下的最大值，为此构造拉格)(yx2z朗日函数.yxzyxF()(2),( 2)12令 .12,0,4zyxFzyx解得可能取极值的点为 及 .0,12,因为所要求的最大值一定存在，比较， ，20,12lf 20,21lf知 为所求的点.0,217. 求由方程 确定的函数 的极值.014222 zyxzyx ),(yxfz解：
11、法 1：将方程分别对 求偏导，并联立方程组,yyxxzz )1(由函数取极值的必要条件为：0yxz )2(将 代入 得： 为驻点.)2(11,),(p将 的两个方程分别对 求偏导得：yx高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 16 -zzxzAppx 21)2(13 )3(0pxyBzzyzCppy 21)2(13， 取极值.0)(22BApyxf),(将 代入原方程得： .1,yx 6,21z把 代入 ： ， 为极小值.21z)3(042zA2)1,(f把 代入 ： ， 为极大值.62)(16z6),(fz法 2：配方法：原方程可变形为： 12)()(22yx21)
12、(16z显然，当 时，根号中的极大值为 4，由此可知 为极值，,yx 42z为极大值， 为极小值.6z2z8. 某城市的大气污染指数 取决于两个因素，即空气中固体废物的数量 和空气中有Px害气体的数量 .它们之间的关系可表示成y.),0(42),(2yxxyx（1）计算 和 ，并说明它们的实际意义；50x),1y（2）当 增长 10%， 不变或 不变， 增长 10%，该城市的空气污染的情xy况怎样？（3）当 增长 10%， 减少 10%，该城市的空气污染是否有所改善？xy解： （1）由 ，得xyyxPxP82),(42),(2.4051,3051yx根据偏导数定义， 表示当空气中有害气体 且固
13、定不变， 对 （当),( Px高等数学 A2 作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用- 17 -时）的变化率，也就是说 是常量， 是变量，且 自 10 发生一个单位的改变10x5yxx时，大气污染指数 大约改变 个单位.P),10(x同理， 表示当空气中固体废物 不改变时， 对 （当 时）的变)5,(y 10xPy5化率，或者说，当 不变， 自 5 发生一个单位的改变时，大气污染指数 P 大约改变xy个单位.),10(yP(2) 显然 在点 处连续，根据增量公式，有),(),(yxPx ),10( )()5,10()5,(5 oxPxyx ，ox423)(42130其中 .2)(yx当 ， 增长 10%时， 10 10%=1, ，则有5yx0y；13)5,(|)()5,10( xox PP当 ， ， 5 10%=0.5 时,有10xy.20.4|)()( yy由此可见，当自变量 ， 在点 处一个保持不变，另一个增加 10%时，引起大x5,10气污染的程度是不同的，有害气体对大气污染的程度较严重.（3）由于 ， ， 增长 10，即 ； 减少 10，即 ，10y1xy5.0y此时大气污染指数的增量为，8)5,0()5,0(),()5.,( PPPyx即大气污染得到一定的治理，空气状况有所改变.
