1、第 1页，共 22页 2017年高三模拟理数试题专题之计数原理含解析 一、选择题 (本大题共 20 小题，共 100.0分 ) 1.某班有 6 位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为（ ） A.96 B.432 C.480 D.528 2.某日，从甲城市到乙城市的火车共有 10 个车次，飞机共有 2 个航班，长途汽车共有 12 个班次，若该日小张只选择这 3 种交通工具中的一种，则他从甲城市到乙城市共有（ ） A.12 种选法 B.14 种选法 C.24 种选法 D.22 种 选法 3.5 名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每
2、个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（ ） 种 A.25 B.50 C.150 D.300 4.某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数是（ ） A.50 B.26 C.24 D.616 5.从 6 名女生中选 4 人参加 4100 米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为（ ） A.144 B.192 C.228 D.264 6.5 名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以 “ 去 ” 或 “ 不去 ” ，则第二天可能出现的不同情况的种数为（ ） A.C B.2
3、5 C.52 D.A 7.已知集合 P=x， y， z， Q=1， 2， 3，映射 f： PQ 中满足 f（ y） =2 的映射的个数共有（ ） A.2 B.4 C.6 D.9 8.四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻 ，且女演员甲不站两侧的排法数为（ ） A. -2 B. - C. -2 D. - 9.将 A、 B、 C、 D 四个球放入编号为 1， 2， 3 的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且 A、 B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A.30 B.36 C.60 D.66 10.现有 4 件不同款式的上衣与 3 件不同颜色的长裤
4、，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同选法是（ ） A.7 B.64 C.12 D.81 11.在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1件次品的不同取法的种数是（ ） A.C61C942 B.C61C992 C.C1003-C943 D.P1003-P943 12.有 5 名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排 2 名游客，那么互不相同的安排方法的种数为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 13.八人分乘三辆小车，每辆小车至少载 1 人最多载 4 人，不同坐法共有（ ） A.770 种 B.1260 种 C.4620 种 D.294
5、0 种 14.某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为 1、 2、 3、 4、 5 的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒不同的装法有（ ） A.5 种 B.20 种 C.24 种 D.120 种 15.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ） A.72 B.96 C.120 D.156 第 2页，共 22页 16.已知点集 ，则由 U 中的任意三点可组成（ ）个不同的三角形 A.7 B.8 C.9 D.10 17.某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定
6、在同一个城市投资的项目不超过两个，则该企业不同的投资方案有（ ） A.204 种 B.96 种 C.240 种 D.384 种 18.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 19.现准备将 6 台型号相同的电脑分配给 5 所小学，其中 A、 B 两所希望小学每个学校至少 2 台，其他小学允许 1 台也没有，则不同的分配方案共有（ ） A.13 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种 20.将 8 个不同的小球放入 3 个不同的小盒，要求每个盒子中至少有一个球，且每个盒子里的球的个数都不同
7、，则不同的放法有（ ）种 A.2698 B.2688 C.1344 D.5376 二、填空题 (本大题共 20 小题，共 100.0分 ) 21.从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有 _ 种不同的组建方案（结果用 数值表示） 22.用 0， 1， 2， 3 这四个数字，可以组成没有重复数字的 3 位数，其中奇数的个数为 _ 23.在 1， 2， 3， 4， 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 _ 个 24.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科（ 3
8、 门理科学科，3 门文科学科）中选择 3 门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有 _ 种 25.亚欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按 事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有 _ 种 26.如图，从 AC 有 _ 种不同的走法 27.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等 5 人报名参加了 A， B， C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者，且甲不能参加 A， B 项目，乙不能参加 B
9、， C 项目，那么共有 _ 种不同的志愿者分配方案（用数字作答） 28.整数组（ x1， x2， x3， x4）适合条件 0 x1 x2 x3 x4 7，则这样的数组共有 _ 组 29.由 1， 2， 3， 4， 5， 6 组成没有重复数字且 1， 3 不相邻的六位数的个数是 _ 30.已知 2 名女生、 4 名男生排成一排，则女生 A 必须排在 B 的左边（不一定相邻）的不同排法共有 _ 种（用数字作答） 31.对一个边长互不相等的凸 n（ n3 ）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色所有不同的染色方法记为 P（ n），则 P（ n） = _
10、32.从 1、 2、 3、 4、 5、 6 这六个数中，每次取出两个不同数记为 a、 b，则共可得到 3 的不同数值的个数为 _ 33.设 a， b， c1 ， 2， 3， 4， 5， 6，若以 a， b， c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 _ 个 34.从 1， 2， 3， 4， 5中随机选取一个数为 a，从 1， 2， 3中随机选取一个数为 b，则使得 b a 的不同取法共有 _ 种 35.一台晚会共有舞蹈、相声、小品、唱歌、魔术、杂技、戏曲 7 个节目，编排一个节目单，要求舞蹈、相声、小品两两互不相邻，这个节 目单的编排方式种数共有 _ 种（用数字作答）
11、第 3页，共 22页 36.有一个五边形 ABCDE，若把顶点 A， B， C， D， E 涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有 _ 种不同的涂色方法 37.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有 _ 种 38.大小形状完全相同的 8 张卡片上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，从中任意抽取 6 张卡片排成 3 行 2列，则 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的概 率为 _ 39.如图，桌面上摆有三串冰糖葫芦，第一串 3 课，第二串 2 颗，第三
12、串 1 颗小明每次从中取走一颗，若上面的冰糖葫芦取走后才能取下面的冰糖葫芦则冰糖葫芦 A恰好在第五次被取走，且冰糖葫芦 B恰好在第六次被取走的取法数为 _ 40.安排 3 名支教老师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有 _ 种（用数字作答） 三、解答题 (本大题共 20 小题，共 240.0分 ) 41.（ 1）求（ -x） 5的展开式中 x3的系数及展开式中各项系数之和； （ 2）从 0， 2， 3， 4， 5， 6 这 6 个数中任取 4 个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数 42.某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、 3 个舞蹈、
13、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数： （ 1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （ 2）两个唱歌节目不相邻； （ 3）两个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻 43.在 1-20 这 20 个整数中 （ 1）从这 20 个数中任取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？ （ 2）从这 20 个数中先后取两个数相加，使其和大于 20 的不同取法共有 多少种？ 44.五位同学按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （ 1）甲乙必须相邻 （ 2）甲乙不相邻 （ 3）甲不站中间，乙不站两端 （ 4）甲，乙均在丙的同侧 第 4页，共 22页 45.已知在 的展开式中，只有第
14、 5 项二项式系数最大 （ 1）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由； （ 2）求展开式的所有有理项 46.已知 的展开式的各项系数之和等于 展开式中的常数项，求 展开式中含的项的二项式系数 47.设 的展开式的各项系数之和 为 M，二项式系数之和为 N，若 M-N=240 （ 1）求 n； （ 2）求展开式中所有 x的有理项 48.已知 的展开式中 x4的系数是 -35， （ 1）求 a1+a2+ a7的值； （ 2）求 a1+a3+a5+a7的值 49.7 人站成一排（写出必要的过程，结果用数字作答） （ 1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？ （ 2）甲、乙两人
15、不相邻的排法有多少种？ （ 3）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ （ 4）甲、乙、丙三人至多两人不相邻的排法有多少种？ 50.已知（ ） n的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ，求展开式中常数项 第 5页，共 22页 51.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1男 2女 （ ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率； （ ）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名教师来自同一学校的概率 52.三个女生和五个男生排成一排 （ 1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？ （ 2）如果女生必须全分开，有
16、多少种不同的排法？ （ 3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （ 4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？ （ 5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 53.已知二项式 的展开式中， （ I）求展开式中含 x4项的系数； （ II）如果第 3r项和第 r+2 项的二项式系数相等，试求 r的值 54.已知（ x+ ） n展开式的二项式系数之和为 256 （ 1）求 n； （ 2）若展开式中常数项为 ，求 m的值； （ 3）若展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项，求 m的值 55.从 5 名女同学和 4 名男同学中选出 4 人参加四场不同的 演讲，分
17、别按下列要求，各有多少种不同选法？ （ 1）男、女同学各 2 名； （ 2）男、女同学分别至少有 1 名； （ 3）男、女同学分别至少有 1 名且男同学甲与女同学乙不能同时选出 第 6页，共 22页 56.袋中装有大小相同的 4 个红球和 6 个白球，从中取出 4 个球 （ 1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？ （ 2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ 57.在班级活动中，某小组的 4 名男生和 2 名女生站成一排表演节目： （ ）两名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （ ）女 生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （ ） 4 名男
18、生相邻有多少种不同的排法？ （ ）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 58.设（ 1- x） n=a0+a1x+a2x2+ + ，若 |a0|， |a1|， |a2|成等差数列 （ 1）求（ 1- x） n展开式的中间项； （ 2）求（ 1- x） n展开式中所有含 x奇次幂的系数和； （ 3）求 a1+2a2+3a3+ nan的值 59.某兴趣小组的 3 名指导老师和 7 名学生站成前后 两排合影， 3 名指导老师站在前排， 7 名学生站在后排 （ 1）若甲，乙两名学生要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？ （ 2）若甲，乙两名学生不能相邻，共有多少
19、种不同的排法？ （ 3）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排 7 人中抽 2 人调整到前排若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？ （本题各小题都要求列出算式，并用数字作答） 60.已知（ x+ ） n的展开式中前 3 项的系数成等差数列，设（ x+ ） n=a0+a1x+a2x2+ anxn （ 1）求 a0的值 （ 2）求最大的二项式系数 （ 3）求系数最大的项 第 7页，共 22页 【答案】 1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C 11.C 12.B 13.C 14.D 15.B 16.C 17.C 18.C 1
20、9.B 20.B 21.120 22.8 23.24 24.10 25.252 26.6 27.21 28.70 29.480 30.360 31.2n+2（ -1） n 32.22 33.27 34.12 35.1440 36.30 37.60 38. 39.12 40.210 41.解：（ 1）根据题意，（ -x） 5中，其展开式 Tr+1=C5r（ ） 5-r（ -x） r， 则其展开式中 x3的系数为 T4=C53（ ） 2（ -1） 3=- ， 在（ -x） 5中，令 x=1 可得其各项系数之和（ -1） 5=- ， （ 2）根据题意，分 2 步进行分析： 、首位数字不能为 0，则首
21、位数字在 2， 3， 4， 5， 6 中选一个，则首位数字有 5 种情况， 、在剩下的 5 个数字中，任选 3 个，安排在百位、十位、个位，有 A53=543=60 种情况， 则一共有 560=300 个满足条件的四位数 42.解：（ 1）先排歌曲节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法，所以共有 A22A66=1440种排法 （ 2）先排 3 个舞蹈节目， 3 个曲艺节目，有 A66种排法，再从其中 7 个空（包括两端）中选 2 个排歌曲节目，有 A72种插入方法，所以共有 A66A72=30240 种排法 （ 3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法， 3 个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共
22、有 A44A53A22=2880 种 43.解：（ 1）： 1 到 20 共 20 个整数中，偶数有 10 个，奇数有 10 个 若取出的这 2 个数都是偶数，方法共有 C102=45 种；若取出的这 2个数都是奇数，方法共有 C102=45种， 故所取的两数和为偶数的取法有 45+45=90 种， （ 2）：据题意，若每次取出 2 个数的和大于 20，则两个数中至少有一个大于 10， 可以分两种情况讨论， 当取出的 2 个数都大于 10 时，则有 C102=45 种 若取出的 2 个数有一个小于或等于 10， 当一个数取 1 时，另 1 个只能取 20，有 C11种取法； 当一个数取 2 时
23、，另 1 个只能取 20 或 19，有 C21种取法； 第 8页，共 22页 当一个数取 10 时，另 1 个数只能取 20， 19， 18， ， 11 中的一个，有 C101=10种取法， 45+1+2+3+10=100 44.解：（ 1）捆绑法：把甲乙看成一个整体，这样 5 个人变成了 4 个人，全排列共有 A22A44=48 （种）站法， （ 2）插空法：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用 “ 插空法 ” ，第一步先让甲、乙以外的 3 个人站队，有 A33种；第二步再将甲、乙排在 3 人形成的 4 个空档（含两端）中，有 A42种，故共有站法为 A33A42=72（种） （ 3）间接法：
24、若对甲乙没有限制条件共有 A55种法，甲在中间有 A44种站法，乙在两端有 2A44种，甲站中间乙站两端的有 2A33种， 故甲不站中间，乙不站两端共有 A55-3A44+2A33=120-72+12=60， 直接法：第一类，乙在中间，有 A44=24 种，乙不在中间，有 A21A31A33=36 种，根据分类计数原理共有 24+36=60 种， （ 4）定序法：甲，乙均在丙的同侧，甲乙丙的顺序共 3 种，其中甲，乙均在丙的同侧占 ，故有 A55=80 种 45.解：（ 1）项式系数最大的只有第 5 项 Cn4 最大， n=8 T k+1=C8k（ ） 8-k（ - ） k=（ -1） k2-
25、kC8kx ， 若存在常数项，则 =0， 即 3k=16，又 kN ，这不可能， 没有常数项； （ 2）：若 Tk+1为有理项，当且仅当 为整数， 因为 0 k8 ， kN ，所以 k=0， 4， 8， 即展开式中的有理项有 3 项，它们是 46.解：令 a=1 得 的展开式的各项系数之和为 2n， （ 2 分） 由二项展开式的通项公式得 ， 令 10-5r=0，解得 r=2， （ 4 分） 所以 的展开式中的常数项是第 3 项， 即 ， 由 2n=27得 n=7； （ 8 分） 对于 ，由二项展开式的通项公式得 ， 所以 的项是第 4 项，其二项式系数是 （ 12 分） 47.解：（ 1）令
26、 x=1， M=4n 二项系数之和为 2n 所以 4n-2n=240 得 n=4， （ 2） Tr+1=34-rC4rx ， 0 r4 ，所以 r=0， 2， 4， 当 r=0 时， T1=34C40x4=81x4， 当 r=2 时， T2=32C42x3=54x3， 当 r=4 时， T1=30C44x2=x2 48.解： ， ， m=1 第 9页，共 22页 （ 1）令 x=1 时， ， 令 x=0 时， a1+a2+ a7=1 （ 2）令 x=-1 时， - 得 49.解：（ 1）（捆绑法）将甲、乙两人 “ 捆绑 ” 为一个元素，与其余 5 人全排列，共有 种排法，甲、乙两人可交换位置，
27、有 A22种排法，故共有 （种）排法 （ 2）方法一（间接法） 7 人任意排列，有 种排法，甲、乙两人相邻的排法有 种，故甲、乙不相邻的排法有 （种） 方法二（插空法）将其余 5 人全排列， 有 种排法， 5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有种排法，故共有 （种）排法 （ 3）（插空法）将其余 4 人排好，有 种排法，将甲、乙、丙插入 5 个空中，有 种排法故共有 （种）排法 （ 4）（间接法） 7 人任意排列有 种排法，甲乙丙都相邻的排法有 种，故有 种排法 50.解：第三项的系数为 Cn2，第五项的系数为 Cn4，由第三项与第五项的系数之比为 可得 n=10，则=
28、 ，令 40-5r=0，解得 r=8，故所求的常数项为（ -1） 8C108=45； 51.解：（ ）甲校两名男教师分别用 A， B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用 D 表示，两名女教师分别用 E、 F表示从甲校和乙校的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： A， D， A， E， A， F， B， D， B， E， B，F， C， D， C， E， C， F，共 9 种 从中选出两名教师性别相同的结果有： A， D， B， D， C， E， C， F，共 4 种，所以选出的两名教师性别相同的概率为 （ ）从甲校和乙校的教师中任先 2 名的所有可能的结果为： A， B， A， C，
29、A， D， A， E， A， F， B， C，B， D， B， E， B， F， C， D， C， E， C， F， D， E， D， F， E， F，共 15 种从中选出两名教师来自同一学校的结果有： A， B， A， C， B， C， D， E， D， F， E， F，共 6 种所以，选出两名教师来自同一学校的概率为 52.解：（ 1）女须全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和 5 个男生全排，故有 A33A66=4320种； （ 2）女生必须全分开，先排男生形成了 6 个空中，插入 3 名女生，故有 A55A63=14400 种； （ 3）两端都不能排女生，从 男生中
30、选 2 人排在两端，其余的全排，故有 A52A66=14400 种； （ 4）男生按固定顺序，从 8 个位置中，任意排 3 个女生，其余的 5 个位置男生按照固定顺序排列，故有 A83=336种， （ 5）三个女生站在前排，五个男生站在后排， A33A55=720 种 53.解：（ I）写出展开式的特征项， 第 k+1 项为 第 10 页，共 22 页 令 ，解得 k=4， 展开式中含 x4项的系数为（ -2） 4C104=3360 （ II） 第 3r项的二项式系数为 C103r-1，第 r+2 项的二项式系数 C10r+1 C 103r-1=C10r+1故 3r-1=r+1 或 3r-1+
31、r+1=10 r=1 54.解：（ 1） （ x+ ） n展开式的二项式系数之和为 256， 2 n=256，解得 n=8 （ 2） 的通项公式： Tr+1= =mr x8-2r，令 8-2r=0，解得 r=4 m4 = ，解得 m= （ 3） 的通项公式： Tr+1= =mr x8-2r， 展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项， m0 ， T6=m5 x-2， T7=m6 x-4，令 m5 =m6 ， 解得 m=2 55.解：（ 1）男、女同学各 2 名的选法有 C42C 52=61 0=60 种，故总的不同选法有 60A 44=1440种； 即男女同学各两名的选法共有 1440 种
32、 （ 2） “ 男、女同学分别至少有 1 名 ” 包括有 “ 一男三女 ” ， “ 二男二女 ” ， “ 三男一女 ” ，故选人种数为C41C 53+C42C 52+C43C 51=40+60+20=120 故总的安排方法有 120A 44=2880 故不同的选法有 2880 种 （ 3）可计算男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有 C32+C41C 31+C42=21 故总的 选法有 2880-21A 44=2376 故不同的选法种数是 2376 种 56.解：（ 1）根据题意，袋中装有大小相同的 4 个红球和 6 个白
33、球，从中取出 4 个，有 C104=210种取法， 其中颜色相同的情况有 2 种： 4 个红球或 4 个白球， 若 4 个红球，有 C44=1 种取法， 若 4 个白球，有 C64=15 种取法， 则取出球必须是两种颜色的取法有 210-（ 1+15） =194 种； （ 2）若取出的红球个数不少于白球个数，分 3 种情况讨论： 、 4 个全部是红球，有 C44=1 种取法， 、有 3 个红球， 1 个白球，有 C43C61=24种取法， 、有 2 个红球， 2 个白球，有 C42C62=90种取法， 则一共有 1+24+90=115 种取法 57.解：（ I）由题意知两名女生不能相邻，可以先
34、排列男生，有 A44=24 种结果， 再在男生写出的 5 个空中排列两名女生，有 A52=20 种结果， 根据分步计数原理知共有 2420=480 种结果 即两名女生不能相邻的排列方法有 480 种结果， （ II）由题意知可以分成两种情况甲站在右端有 A55=120 种结果， 甲不在右端，甲有 4 种情况，乙也有 4 种结果，余下的 4 个人在四个位置全排列，共有 44A 44=384 种结果， 根据分步计数原理知共有 120+384=504 种结果 （ III） 4 名同学相邻可以把四名男生作为一个元素，和 2 名女生共有三个元素排列，有 A33=6 种结果， 其中四名男生内部还有一个排列，共有 6A44=144 种结果 （ ）首先把 6 名同学全排列，共有 A66=720 种结果， 甲乙丙三人内部的排列共有 A33=6 种结果，
