1、课程编号： MTH17042 北京理工大学 2014-2015 学年第 一 学期 2014.11.3 2013级 数学专业数学分析 阶段测验（一）试题 1.设 , , , , ,u u x y z v v x y z是 3 中的调和函数， S 是 3 中任意的分片光滑闭曲面。求证：SSvuu dS v dSnn ，其中 un 和 vn 分别表示函数 u 和 v 沿 S 外法线方向的方向导数。 2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和 DAlembert 比值判别法，并利用前者证明后者。 3.判断下列级数的敛散性： （ 1） 331n n n n n （ 2） 311122nnnnn （ 3） 21
2、1 ln 1n nn n （ 4） 221sin sin 1nnnn （ 5）12nnn4.设 0, 1, 2,nun 。又设广义极限 ln lnlim ln lnnn unLn 存在。求证： 当 1L （含 L ）时，级数1 nn u收敛； 当 1L （含 L ）时，级数1 nn u发散。 5.研究级数 32sinlnnnnn的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中 是实参数。 6.设1nnn aR收敛，其中 R0，求证：对一切 ,x R R ，1nnn nax绝对 收敛。 7.设 ,0nnb，且有极限1lim 1 0nnnbnpb 。求证：数列 nb 收敛，且 lim 0nn b 。 8
3、.设 limnn aA 存在，又设1 nn b绝对收敛。求证：111limnk n k nn kna b A b 。 课程编号： MTH17042 北 京理工大学 2014-2015 学年第 一 学期 2014.11 2013级 数学专业数学分析 期中试卷 一、（ 15 分）（ 1）设 数项级数1 nn a与1 nn b均绝对收敛，问：1 nnn ab是否一定收敛？为什么？如果1 nn a收敛，1 nn b绝对收敛，那么1 nnn ab是否一定收敛？为什么？ （ 2）设 lim 0nn a ， 11 nnn aa 绝对收敛，又设1 nn b的 n 次部分和序列有界，求证：1 nnn ab收敛。
4、 二、（ 10 分） 设 na 单调递减，且 ,0nna；又设 p 是任意固定的正整数，求证：1 nn a收敛当且仅当1 pnn a收敛。 三、（ 15 分） 设对每一个自然数 n，函数 nux在数集 E内有定义， （ 1） 用肯定语气叙述函数项级数 1 nn ux在数集 E内不满足一致收敛的 Cauchy 准则的严格含义； （ 2） 设存在数列 na 和 nb ，满足 ,n x E ，都有 n n na u x b，且数项级数1 nn a与1 nn b均收敛，试利用一致收敛的 Cauchy 准则证明函数项级数 1 nn ux在数集 E内一致收敛。 四、（ 10 分） 设 233113 , 1
5、 , 2 ,2nnkx n nk ，求证： nx 收敛。 五、（ 15 分） 研究函数项级数 11 lnnxnnn 的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明： （ 1）函数项级数 11 lnnxnnn 的和函数 Sx在其收敛域内连续； （ 2）函数项级数 11 lnnxnnn 在其收敛域内不一致收敛。 六、（ 10 分） 设 , 0 , , 1 , 2 ,nnf x x x n 。 （ 1）求证：函数序列 nfx在 0, 中内闭一致收敛； （ 2）用两种方法证明 nfx在 0, 内不一致收敛。 七、（ 15 分） （ 1）求幂级数 1 211 12n nnnn x 的收敛域及和函数； （ 2）
6、求函数 2ln 1f x x x 的 Maclaurin 级数展开式并确定收敛区间。 八、（ 10 分） 设函数 , nf x f x 在区间 I 内定义 1,2,n ，且 n ， nfx在区间 I内一致连续；又设 n 时 nfx关于 x在 I 内一致收敛于 fx。求证： fx在区间I 内一致连续，且 nfx在区间 I 内等度连续，即 0, 0 ，使得 ,n x x I ，只要 xx ，就有 nnf x f x 。 九、（ 10 分） 设函数序列 nfx在区间 ,a 内点态收敛于极限函数 fx，且 n ，极限 limnnx f x A 存在；又设当 x 时 nfx等度收敛于 nA ，即 0,
7、0X ，使得当 xX 时， n ，都有 nnf x A ，求证： lim limnxnfx 与 lim limnnx fx 都存在，且二者相等。 （第八题、第九题二题中任选一题） 课程编号： MTH17169 北京理工大学 2016-2017 学年第一学期 2015 级数学与统计学院数学分析 期中考题 1.（ 20 分）讨论下列正项级数的收敛性。 （ 1） 21 nnne； （ 2） 21!2!nnn； （ 3） 221 11n nn 。 2.（ 30 分）判断下列级数是否收敛；若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （ 1） 1s in 11 0 2npnnx xnn ； （ 2） 21lnnpn
8、 nn 。 3.（ 15 分）求幂级数 1 1nn n n x 的收敛半径和收敛域，并求出和函数的表达式。 4.（ 15 分）设 nf 和 ng 都在区间 I 上有界， 1,2,n ，并且 nf 在 I 上一致收敛于 f ，ng 在 I 上一致收敛于 g 。证明： nnfg 在 I 上一致收敛于 fg 。 5.（ 20 分） 设 21 cos 1n nxfx n ，证明： （ 1） f 在其定义域内连续；（ 2） f 在区间 0,2 上可导； （ 3） 20711 5 2 2F f x d x 。 课程编号： MTH17042 北京理工大学 2014-2015 学年第 一 学期 2014.12
9、 2013级 数学专业数学分析 第 三次阶段练习 一、判别敛散性：（ 1） ln2lnnnn n n； （ 2） 20si n ln 11xxdxxx ； （ 3） 10 11cos dxxx。 二、 设 na 单调递减，且 ,0nna，求证：1 nn a收敛当且仅当212 nnn a收敛。 三、 设 344114 , 1 , 2 ,3nnkx n nk ，求证： nx 收敛。 四、 （ 1）求函数 2ln 4f x x x 的 Maclaurin 级数展开式并确定收敛区间； （ 2）求幂级数 2 11 11nnn xn 的收敛域及和函数。 五、 （ 1）证明无穷级数11 1 11 22nn
10、n 收敛，并求其和 ； （ 2） 设 2220xx tsf x e dt ds ，求 fx 及 fx的表达式。 六、 设对每一个自然数 n，函数 nux在数集 E 内有定义，又设 3,n x E ，都有 111 11 sinl n l nnn nnnnnu x n nn n n ，求证：函数项级数 1 nn ux在数集 E内一致收敛。 七、 设1nnn aR收敛，其中 0R 为定数，求证：（ 1）幂级数1nnn ax在 ,RR 内绝对收敛；（ 2） 0,cR ，幂级数1nnn ax在 ,cR 内一致收敛。 八、 设有广义积分 20 sinpI p x x dx ，问： p 取何值时 Ip绝对收
11、敛？ p 取何值时 Ip条件收敛？ p 取何值时 Ip发散？ 九、 求广义积分 21ln pxJ p dxx 的收敛域 I，并证明： （ 1）函数 Jp在 I 内连续；（ 2）广义积分 Jp在 I 内不一致收敛。 十、 设 , 0,a b m，用三种方法计算广义积分0 s inax bxee m xdxx 。 选作 设 fx和 gx在 0, 内连续，又设极限 limx f x A 存在，且广义积分 0 g xdx 绝对收敛，求证： 00l im TT f x g T x d x A g x d x 。 课程编号： MTH17042 北京理工大学 2014-2015 学年第 一 学期 2015.
12、1.26 2013级 数学专业数学分析期末试题 B卷 一、（每小题 7 分，共 35 分） （ 1）求幂级数 21 11nnn nx 的收敛域及和函数； （ 2） 设 2 22 s inyyF y yx dx ，求 Fy ； （ 3） 将 2ln 4 2 3f x x x 展开成 x 的幂级数， 确定收敛区间， 并求 5 0f 的值 ； （ 4） 求证无穷 级数 11 1 11 2 1 1n n n n 收敛，并求其和。 （ 5） 设 xf x e ，其中 x 。求 f 以 2 为周期的 Fourier 级数 展开式 ，并求其和函数在 0,2 内的表达式。 二、（ 10 分）设 na 单调递减
13、，且 ,0nna，求证：1 nn a收敛 当且仅当320 nn a收敛。 三、（ 10 分）设 1110 1 , , 1 , 2 ,1 pnn pknp x nkp ，求证： 数列 nx 收敛。 四、（ 15 分） （ 1） 设 ,f xy 在 ,a x y I 内有定义，其中 I 是一个区间，且 Aa，yI， f 关于 x 在 ,aA内常义可积，用肯定语气叙述广义积分 ,a f x y dx 关于 y 在区间 I 内 不满足一致收敛 Cauchy 准则的严格含义； （ 2）用两种方法计算 广义积分 230 co sxxee xdxx （证明计算过程的合理性） 。 五、（ 15 分） 求 广义
14、积分 41 lnp xJ p dxx 的收敛域 I，并证明： （ 1） 函数 Jp在 I 内连续；（ 2） 广义积分 Jp在 I 内不一致收敛。 六、（ 7 分） 设 ,0nna， 又设幂 级数0nnn ax的收敛半径为 1， 其 和函数为 fx。 求证： 10limx fx 成立 的充要条件是0 nn a发散。 七、（ 8 分） 设 f 在区域 , | , 0x y a x b y 上定义， 偏导函数 xf 在 内存在且有界 ； 又 设 对每个 ,x ab ， 极限 lim ,y f x y g x 存在 ； 求证： （ 1） g 在 有界开区间 ,ab 内 一致连续； （ 2） y 时，
15、,f xy 关于 x 在有界开区间 ,ab 内 一致收敛。 提示：考虑以下的定理：设 n ， nf 在 ,ab 内连续，则 n 时， nf 在 ,ab 内一致收敛的充分必要条件是 n 时， nf 在 ,ab 内收敛且 在 区间 ,ab 内等度连续。 课程编号： MTH17169 北京理工大学 2016-2017 学年第一学期 2015 级数学与统计学院数学分析 期 终考试 考题 （ A卷） 1.（ 20 分）判断下列无穷级数或广义积分的收敛性。 （ 1） 12 1 !3nnnn ； （ 2） 1 1nnn n ； （ 3） 20 1pdxxx ； （ 4） ln1 0xdx rr 。 2.（
16、10 分）证明： sin1cosx pexdxx 当 1p 时绝对收敛；当 01p时条件收敛；当 0p时发散。 3.（ 12 分）（ 1）设 20x tF x x t e dt，求 Fx ； （ 2）设 20 ,x t xtxF x d t f t s d s ，其中 f 在 2 上连续，求 Fx 。 4.（ 12 分）（ 1）求幂级数 0 1!nnxn 的收敛域及其和函数的表达式； （ 2）求级数 11,1 ! 2 !nnnn的和。 5.（ 14 分）（ 1）证明0 cosxdxx 关于 在 0,1 内闭一致收敛，但不一致收敛； （ 2）求积分 0 s i n s i n 0 , 0xb x
17、 a x e d x a bx 的值。 6.（ 14 分）设 f 以 2 为周期，在 , 上表达式为 ,02 , 0xxfx 。 （ 1）求 f 的 Fourier 级数；（ 2）求 f 的 Fourier 级数的和函数在 0,2 的表达式； （ 3）求级数1sinnnn的和。 7.（ 8 分）设 f 在 1, 单调递增，且 limx f x A 。证明：（ 1） 1 1n f n f n 收敛；（ 2）若 f 在 1, 二阶可导，且 0 , 1,f x x ，则 1n fn 收敛。 8.（ 10 分）设 01p。 （ 1）利用余元公式 1 0 1s i np p pp ，求 10 1px dxx 的值； （ 2）证明： 10ln1pxxdxx 关于 p 在 0,1 内闭一致收敛； （ 3）证明： 1220 ln c o s1 s i npx x pdxxp 。
