1、高等数学与建模思想的渗透与实践【摘要】建模思想是高等数学应用能力的重要体现，也是构建优化、精简、实用高等数学知识结构的主要内容。利用现代课程教学理论和学生认知心理学，从改进和充实数学理论教学中拓宽数学知识的应用范围，并从习题教学、综合训练中增强高等数学应用能力。以数学建模为依托，从高等数学实例教学中渗透建模思想就显得尤为重要。 【关键词】高等数学 建模思想 实例教学 渗透研究 高等教育的发展、素质教育改革模式的转变，对学生的应用能力提出更高要求。数学作为高等院校重要基础课程之一，在数学研究的抽象性与技术性上，如何将数学知识与实践应用相结合，凸显数学的应用能力。解决实际问题，从问题的起始状态、中
2、间状态、目标状态上来全面审视数学认知，并从数学的抽象思维、逻辑思维和建模思想上来解决具体的综合问题。以建模为依托，从数学概念、定理、数学思维方法上来探究数学与客观世界的关系，并从建模实践中来表征数量关系与图形关系，旨在从建模实践中验证数学的应用价值。 一、数学建模与为什么引入建模思想 从概念来看，模型是基于结构的、对抽象事物的形象化表示。数学模型是基于符号的对客观世界的抽象性、简化性数学结构，建模的过程也是对实际问题抽象、简化、确定变量、参数，并从数量间的关系上求解数学问题。在高等数学教学实践中，将建模思想渗透到数学概念中，并从数学的建模应用中来强化理论知识与实践的联系，帮助学生从数学知识中增
3、长数学素养，提升数学综合素质。因此，建模思想与高等数学的渗透是十分必要的。其作用主要表现：一是建模思想有助于增强学生对数学的探索兴趣。从建模的形成来看，数学建模来源于实际问题，是从现实问题的抽象、简化中形成数学模型，并结合数学解题方法来求解问题，达到对数学建模与现实实践的融合。因此，建模思想的实践性，可以有效激发学生的探索欲和好奇心，并从数学解题实践中强化对数学思想和方法的运用。同时，建模思想中的问题情境，将数学知识的分析上满足学生的求知兴趣。二是建模思想注重数学理论知识与实践应用的结合。从数学建模中，对于生活中的问题，可以用数学分析的方法来解决。数学分析的过程，就是对数学理论与实际衔接的过程
4、，从具体的数学模型中来解决遇到的问题，让学生能够从发挥数学知识中增长解题能力，补充数学理论与应用的鸿沟。三是建模思想有助于培养学生的数学思维。对于数学知识，通常需要从条件的分析、具体的运算及逻辑推理中获得数学求解；同时，在对数学符号、数学方法的运用中，从真实事物中来概括和抽象数学模型，将实现对现代教育体系的丰富，也给数学教学提供了生动素材。四是建模思想有助于增强学生的数学素质。高等教育中的数学教学，不仅要注重数学解题能力的养成，还有从数学知识、数学兴趣、数学意识上，引导学生利用数学思维方法来观察事物，解决实际问题。 二、数学建模思想与高等数学的融合研究 （一）建模思想在高等数学概念、定理中的渗
5、透 建模思想作为理论与实践的联系方式，在对数学概念讲解中，利用建模思想来拓宽学生对数学的认知，从客观事物的数量关系中来构建数学知识间的数学模型。如对于定积分的定义讲解中，如何从建模思想与概念关联中引导学生理解问题的实质。可以导入如下问题情境，将某车的运动轨迹为例，求解变速直线运动的路程。对于该问题的设置，让学生从“无限细分化整为零”来理解速度变化，再从局部入手，来探讨直线代曲线后的近似算法，最后从无限积累聚零为整取极限，来全面认识和理解微积分的基本思想，从而获得路程的数学表达式为：S。也就是说，对本实例，从路程 S 的构成上可以利用微积分思想，来构建对应的数学模型，I= ，从而得出定积分的基本
6、定义。 （二）建模思想在数学课堂教学中的具体应用 高等数学不同章节不同知识点在教学中，利用具体的教学实例，从数学模型中来导入课堂，凸显数学问题与现实实际的关联度，并从中来渗透建模思想，增强学生从建模思想中拓宽知识的应用范围，提升课堂教学的趣味性，还能够从问题的分析和解决中促进学生想象力、思维力和创造力的养成。如以某游客登山旅游为例，第一天上午 9 点从山脚出发，下午 5 点达到山顶；第二天从上午 9 点下山，对于是否存在某一个景点， ，满足游客在两天的同一时刻到达。对于本题在研究中，首先从问题的假设中来进行模型构建。设甲乙二人同时相向出发，走同一条路，一个上上，一个下山，必有两人相遇的某一点。
7、其次，从甲乙二人的行走路程分别计作 S，则 S=s1（t）和 S=s2（t） 。然后，我们假设 s1（0）=0，s2（0）=S，s1（T）=S，S2（T）=0，S 为单程距离。对该题进行模型构建，假设函数 f（t）=s2（t）-s1（t） ，从函数的连续性上来看，f（0）=S0，f（T）=-S0，则一定存在某一时刻 t0，满足0t0T，f（t0）=0，即 s2（t0）=s1（t0） 。由此可见，对于在建模思想的应用中，利用高等数学课堂设置问题情境，从数学模型的案例导入中来分析，以满足对高等数学解题能力和应用能力的提升。 （三）建模思想在课后作业中的渗透 数学来源于生活，数学所关系的问题具有普遍
8、性和真实性，对于实际问题的导入，要贴近学生的需求，引导学生从数学建模中增强科研意识和探索精神。课外作业也是高等数学渗透建模思想的重要内容，从课堂知识的延伸、课程教学内容的理解、消化和巩固上，围绕数学分析方法和理论知识，从实际问题的构建中引导学生解决实际问题。如通过对学生进行分组，构建小组协作，从建模知识的合作、体验和实践中完成作业，让学生从作业参与中强化团结、协作精神。如构建某一课题，设置一块不平的地面，能否找到一个合适的位置保持桌子的四脚平稳着地。对于本题在假设上，首先确定四个脚着地将构成一个严格的长方形；其次对于地面高度不存在间断，即不存在类似台阶的地面。由此可知，在构建数学模型中，首先以
9、桌子的中心为原点建立坐标系，当长方形桌子进行旋转时，对角线连线与 X 轴所成夹角为 。由此可以设置四个脚到地面间的距离分别为 hA（） ，hB（） ，hC（）和 hD（） ，同时，对于任意一个 ，都得满足 hA（） ，hB（） ，hC（）和 hD（）至少有三个为零。由此可见，对于 hA（） ，hB（） ，hC（）和hD（）作为 的连续性函数，对于桌子的问题可以进行数学模型转换。假设：hA（） ，hB（） ，hC（）和 hD（） ，满足 hi（）0，且i=A，B，C，D。对于任意一个 ，都有函数 hA（） ，hB（） ，hC（）和 hD（）中的三个总为零。由此可以证明 存在，且满足hA（）=hB
10、（）=hC（）=hD（）=0。对本题进行探讨和总结可知，对于连续函数的根的存在性即是本题研究的问题。对于模型假设与建模思想的渗透，主要从桌子的四个脚构成严格的四方形，且满足地面高度不存在间断。所以，本题的思维空间更大，而解题方法也存在多样化。三、结语 对于高等数学与建模思想是融合，还可以从考试环节入手。对于传统考试内容的设置，开放型题型相对较少，而对于高等数学建模思想的渗透，往往可以通过开放型题型的导入中，来考察学生对数学知识的理解和数学思想的掌握能力。需要强调的是，对于高等数学建模思想及方法的运用，也需要结合学生的学习实际，能够从数学知识的学习和数学应用能力的分析上，凸显基础知识的作用，适当
11、渗透数学应用能力和创新能力，把握好知识间的“实用性”和“严谨性”要求。对于数学建模思想要突出主旨，实例清晰，能够从理论和实践中恰当的拓展学生的思维，促进数学建模思想与高等数学教学的有机协同。总之，数学模型是建模的基础，也是构建数学语言表述现实世界数量关系和图形关系的桥梁，通过对数学建模思想的渗透，将数学知识与运算法则，与具体的数学问题建立关联，从数学知识的结构化、模型化中来深化数学思想，构建完备的数学能力培养体系。 参考文献： 1江志超，程广涛，张静.高等数学教学中数学建模思想的渗透J.北华航天工业学院学报，2012， （02）. 2赵文燕.数学建模思想在高等数学教学中的渗透J.数学学习与研究，2013.
