1、崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟考试试卷 数 学 一、填空题 （本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1 6 题每题 4 分， 7 12 题每题 5 分 ） 1 函数 21 2sin (2 )yx 的最小正周期是 2 若全集 UR ，集合 10A x x x x ，则 UCA 3 若复数 z 满足 2 izii（ i 为虚数单位 ） ，则 z 4 设 m 为常数，若点 (0,5)F 是双曲线 2219yxm的一个焦点，则 m 5 已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 3 ，则该正四棱锥的体积为 6 若实数 ,xy满足 10304xyxyy，则 目标函数 2z x y的最大
2、值为 7 若 1 nxx的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64，则展开式中的常数项的值为 8数列 na 是等比数列，前 n 项和为 nS ，若 122aa， 231aa ，则 limnn S 9 若函数 1( ) 4 2xxfx 的图像与函数 ()y g x 的图像关于直线 yx 对称，则 (3)g 10 甲 与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车 牌尾数是 0，其四位朋友的车牌尾数分别 是 0, 2, 1, 5，为遵守当地 4 月 1 日至 5 日 5 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一
3、天，则不同的用车方案总数为 11 已知函数 22s in ( ) , 0( ) , 0 , 23c o s ( ) , 0x x xfxx x x 是奇函数，则 12 已知 ABC 是边长为 23的正三角形， PQ 为 ABC 外接圆 O 的一条直径， M 为 ABC 边上的动点，则 PM MQ 的最大值是 二、选择题 （本大题共有 4 题，满分 20 分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分】 13 一组统计数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 与另一组统计数据 1 2 3 4 52 3 , 2 3
4、 , 2 3 , 2 3 , 2 3x x x x x 相比较 (A)标准差相同 (B)中位数相同 (C)平均数相同 (D)以上都不相同 14 2b 是直线 3y x b与圆 2240x y y 相交的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 15 若等比数列 na 的公比为 q，则关于 ,xy的二元一次方程组 132421a x a ya x a y 的解的情况下列说法正确的是 (A)对任意 ( 0)q R q， 方程组都有唯一解 (B)对任意 ( 0)q R q， 方程组都无解 (C)当且仅当 12q时 ， 方程组有无穷多解 (D)当且仅当
5、12q时 ， 方程组 无解 16 设函数 () x x xf x a b c ，其中 0, 0c a c b 若 a、 b、 c 是 ABC 的三条边长， 则下列结论中正确的个数是 对于一切 ( ,1)x 都有 ( ) 0fx ； 存在 0x 使 ,x x xxa b c 不能构成一个三角形的三边长； 若 ABC 为钝角三角形，则存在 (1, 2)x ，使 ( ) 0fx (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个 三、解答题 （本大题共有 5 题，满分 76 分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17 （本题满分 14分，本题共有 2个小题，第 (
6、1)小题满分 7分，第 (2)小题满分 7分） 在三棱锥 C ABO 中， OA、 OB、 OC 所在直线两两垂直， 且 OA OB ， CA 与平面 AOB 所成角为 60 ， D 是 AB 中点， 三棱锥 C ABO 的体积是 36 （ 1）求三棱锥 C ABO 的高； （ 2）在线段 CA 上取一点 E，当 E 在什么位置时，异面直线 BE 与 OD 所成的角为 1arccos4？ A B C O D （ 17 题图） 18.（ 本题满分 14分，本题共有 2个小题，第 (1)小题满分 6分，第 (2)小题满分 8分） 设 12FF、 分别为椭圆 22 1 ( 0 )xy ababC :
7、的左、右焦点，点 A 为椭圆 C 的左顶点， 点 B 为椭圆 C 的上顶点，且 3AB ， 12BFF 为直角三角形 （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 设 直线 2y kx与椭圆交于 P、 Q 两点，且 OP OQ ，求实数 k 的值 19.（本题满分 14分，本题共有 2个小题，第 (1)小题满分 6分，第 (2)小题满分 8分） 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在 E 处按 EP 方向释放机器人甲，同时在 A 处按某方向释放机器人乙， 设机器人乙在 Q 处成功拦截机器人甲 若 点 Q 在矩形区域 ABCD 内 （包含边界） ，则挑战成功，否则挑战
8、失败 已知 18AB 米， E 为 AB 中点 ，机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记 EP 与 EB 的夹角为 （ 1） 若 60， AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（ 结果 精确到 0.1 ） （ 2） 如何设计矩形区域 ABCD 的宽 AD 的长度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域 ABCD 内成功拦截机器人甲？ D A E B C P 20.（本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第 (1)小题满分 4 分，第 (2)小题满分 5 分，第 (3)小题满分 7分） 对
9、于函数 ()fx，若在定义域内存在实数 0x ，满足 00( ) ( )f x f x ，则称 ()fx为 “ M 类函数 ” （ 1） 已知函数 ( ) sin3f x x ，试判断 ()fx是否为 “ M 类函数 ” ？并说明理由； （ 2） 设 ( ) 2xf x m是定义在 1,1 上的 “ M 类函数 ” ，求实数 m 的 最小值 ； （ 3） 若 22 ,2lo g ( 2 )()3 xx m xfx x 为其定义域上的 “ M 类函数 ” ，求实数 m 的取值范围 21.（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第 (1)小题满分 4 分，第 (2)小题满分 6 分，第 (3)
10、小题满分 8分） 已知数列 na 满足 111 , , *nnna a a p n N （ 1）若 1p ，写出 4a 所有可能的值； （ 2）若数列 na 是递增数列，且 1 2 3, 2 , 3a a a 成等差数列，求 p 的值； （ 3）若 12p ，且 21na 是递增数列， 2na 是递减数列，求数列 na 的通项公式 崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟高三数学 参考答案及评分标准 一、填空题 1.2 ; 2.0,1) ; 3. 10 ; 4.16; 5.43 ； 6.2； 7.15； 8.83 ； 9.0； 10.64； 11.76 ； 12.3 二、 选择题 13.
11、D； 14.A； 15.C； 16.A 三、 解答题 17.解：（ 1）因为 ,O C O A O C O B，所以 OC AOB 平 面 .2 分 所以 CAO 就是 CA 与平面 AOB 所成角，所以 60CAO .3 分 设 OA OB a，则 3OC a 所以 31 3 33 6 6C A B O A B OV S CO a .6 分 所以 1a ，所以 三棱锥 C ABO 的高 3OC .7 分 （ 2） 建立如 图所示空间直角坐标系，则 11(0 , 0 , 3 ), ( , , 0 )22CD， 设 (1 , 0 3 )( 0 ,1 )E ， 则 11(1 , 1 , 3 ) ,
12、 ( , , 0 )22B E O D .10 分 设 BE 与 OD 所成的角为 ，则 | | 1c o s4| | | |B E O DB E O D .12 分 所以 12 或 1 （舍去） .13 分 所以当 E 是线段 CA 中点时，异面直线 BE 与 OD 所成的角为 1arccos4.14 分 18.解：（ 1） 22| | 3A B a b ，所以 223ab 因为 12BFF 为直角三角形，所以 bc .3 分 又 2 2 2b c a， .4 分 所以 2, 1ab，所以椭圆方程为 2 2 12x y.6 分 （ 2） 由 2 2 122x yy kx ，得： 22(1 2
13、 ) 8 6 0k x k x .8 分 由 22( 8 ) 4 (1 2 ) 6 0kk ，得： 2 32k .9 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y，则有1 2 1 22286,1 2 1 2kx x x xkk .10 分 因为 OP OQ 所以 1 2 1 2O P O Q x x y y 221 2 1 2 26 1 0( 1 ) 2 ( ) 4 4 012 kk x x k x x k .12 分 所以 2 5k ，满足 2 32k .13 分 所以 5k .14 分 19.解：（ 1） AEQ 中， 2 , 1 2 0A Q E Q A E Q
14、.2 分 由正弦定理，得：s in s inE Q A QQ A E A E Q所以 3sin 4QAE.4 分所以 3a r c s in 2 5 .74Q A E 所以应在矩形区域 ABCD 内，按照与 AB 夹角为 25.7 的向量 AQ 方向释放机器人乙，才能挑战成功 .6 分 （ 2） 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴 ，建平面直角坐标系， 设 ( , )( 0)Q x y y .8 分由题意，知 2AQ EQ ， 所以 2 2 2 2( 9) 2x y x y 所以 22( 3 ) 3 6 ( 0 )x y y .11 分 即点 Q 的轨迹是以 (3,0) 为
15、圆心， 6 为半径的上半圆在矩形区域 ABCD 内的部分 所以当 6AD 米时， 能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域 ABCD 内成功拦截机器人甲 .14 分 20.解（ 1）由 ( ) ( )f x f x ，得： s in s in33xx .1 分 所以 3cos 0x .3 分 所以存在0 2xR满足 00( ) ( )f x f x 所以 函数 ( ) sin3f x x 是 “ M 类函数” .4 分 (2)因为 ( ) 2xf x m是定义在 1,1 上的“ M 类函数”， 所以存在实数 0 1,1x 满足 00( ) ( )f x f
16、x ， 即 方程 2 2 2 0xx m 在 1,1 上有解 ,.5 分 令 12 ,22xt .6 分 则 11()2mtt 因为 11( ) ( )2g t t t 在 1 ,12 上递增 ,在 1,2 上递减 .8 分 所以当 12t 或 2t 时， m 取最小值 54 .9 分 （ 3） 由 2 20x mx对 2x 恒成立，得 1m .10 分 因为 若 22 ,2lo g ( 2 )()3 xx m xfx x 为其定义域上的 “ M 类函数” 所以存在实数 0x ，满足 00( ) ( )f x f x 当 0 2x 时， 0 2x ，所以 22 0 03 lo g ( 2 )x
17、 m x ，所以0 0142mxx因为函数 14( 2)2y x xx 是增函数，所以 1m .12 分 当 022x 时， 022x ，所以 -3=3，矛盾 .13 分 当 0 2x 时， 0 2x，所以 22 0 0log ( 2 ) 3x m x，所以0 0142mxx 因为函数 14( 2 )2y x xx 是减函数，所以 1m .15 分 综上所述，实数 m 的取值范围是 1,1) .16 分 21.（ 1） 4a 有可能的值为 -2024， ， ， .4 分 （ 2）因为数列 na 是递增数列，所以 11 .nn n n na a a a p 而 1 1a ，所以 2231, 1a
18、 p a p p .6 分 又 1 2 3,2 ,3a a a 成等差数列，所以 2 1 343a a a .8 分 所以 230pp .解得 13p 或 0p 当 0p 时， 1nnaa ，这与 na 是递增数列矛盾，所以 13p .10 分 （ 3）因为 21na 是递增数列，所以 2 +1 2 1 0nnaa， 所以 2 + 1 2 2 2 1 0n n n na a a a 但2 2 11122nn，所 以 2 + 1 2 2 2 1n n n na a a a 由，知， 2 2 1 0nnaa，所以 2212 2 1 211122nnnn naa .13 分 因为 2na 是递减数列，同理可得 2 1 2 0nnaa 所以 2122 1 2 21122nnnn naa 由，知， 11 12nnn naa .16 分 所以 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a 112111111 1 1 4 121112 2 2 2 3 3 212nnnn 所以数列 na 的通项公式为 11413 3 2nn na .18 分
