1、电磁感应中微元法的应用技巧及实例无锡市第六高级中学 曹钱建摘要：微元法是电磁学中极其重要的一种研究方法，电磁学中无时无刻都在利用微元法处理问题，使复杂问题简化和纯化，从而确定变量为常量达到理想化的效果。间题中的信息进行提炼加工，突出主要因素，忽略次要因素，恰当处理，构建新的物理模型，从而更好地应用微元法，学好电磁感应这部分内容。 。关键词：微元法；电磁感应；高考新课标物理教材中涉及到微分的思想，相应的派生出大量的相关问题。而微元法与电磁感应相结合的问题更是常考点也是难点，本文将就此类问题的解决提供一套简便实用的方法，及部分经典实例。电磁感应问题中的动生电动势模型中，金属杆在达到稳定之前的过程是
2、一个变加速过程（其中涉及到的 、 、 、 、 都是变量） ，常规的原理、公式都无法直接使用，vEI安Fa使得很多学生遇到此类问题都觉得无从下手，但此类问题却在近两年各地模拟卷和江苏高考卷中，作为压轴题出现。其实这时可以采取“微元法” ，即将所研究的变加速物理过程，分割成许多微小的单元，从而将非理想物理模型变成理想物理模型；将变加速运动过程变成匀加速运动过程，然后选择微小的单元，利用下面介绍的方法进行分析和讨论，可用一种比较简单且相对固定的模式解决此类问题。例 1、如图甲所示，光滑绝缘 水平面上一矩形金属线圈 abcd 的质量为 m、电阻为 R、 ad边长度为 L，其右侧是有左右边界的匀强磁场，
3、磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B， ab 边长度与有界磁场区域宽度相等，在 t=0 时刻线圈以初速度 v0进入磁场，在t=T 时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为vl，此时对线圈施加一沿运动方向的变力F，使线圈在 t=2T 时刻线圈全部离开该磁场区，若上述过程中线圈的 vt 图象如图乙所示，整个图象关于 t=T 轴对称(1)求 t=0 时刻线圈的电功率；(2)线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力 F 所做的功分别为多少?(3)若线圈的面积为 S，请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进入磁场过程中 mRLBv210解： t=0 时， E=BLv0 线圈电功率 Rv
4、LBEP202(2)线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热 21201vQ外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功 210mvWF(3)根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速，利用牛顿第二定律分析可得：da bcBLv0甲v0 0vt2Tv1 T乙：mRvLBIa2等式两边同时乘以 可得：ttvvt22因为时间 极短，则 可认为恒定不变，所以 等于此极短时间内的速度改变量 ，tatav同理 也可认为恒定不变，所以 等于此极短时间内的位移 。则：t x可得： 即tvLmRBta2 LxmRBv210mRLSBv210【题后小结】因为题中涉及到金属杆扫过的面积 S， 则将 中构建出
5、vIa2这样就能出现题中已知量 S。tLvmRB2例 2、如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为 d，导轨上面横放着两根导体棒 L1和 L2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为 m，电阻都为 R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为 B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持 L1向上作速度为 的匀速运动，在 t=0 时刻将靠近 L1处的 L2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后 L2也作匀速运动。已知 d=0.5m ， m=0.5kg， R=0.1， B=1T，g 取 10m/s2。(1
6、)为使导体棒 L2向下运动， L1的速度 最大不能超过多少？(2)若 L1的速度 为 3m/s,在坐标中画出 L2的加速度 a 2与速率 2 的关系图像；(3)若 L1的速度 为 3m/s，在 L2作匀速运动的某时刻，两棒的间距 4m，求在此时刻前 L2运动的距离。解： L2刚释放时电路中电动势 回路中电流 1EBdREI21安培力 导体棒 L2能向下运动，则 得 dBIF1Fmg4/ms当 L2运动速度为 2时，回路中电动势()E导体棒 L2的加速度 得mFga2.5a(3) 当导体棒 L2做匀速运动时，L 1和 L2两棒的速度分别是 和 2，由平衡条件得得2()BdR4/s根据微元法思想，
7、将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速，设当导体棒 L2、 L1的相对速度为 相 时，利用牛顿第二定律分析可得：Rmvdga2相取极短时间 t，在时间 t 内速度变化 vBt相 tvRmdBtgta相2又 相 t= x 相 得22dx相代入数据得两棒间距为 4m 所用时间 t=1.1s 导体棒 L1运动的位移 x1=t= 31.1m=3.3m 导体棒 L2运动的位移 7.012相【题后小结】因为题中涉及到金属杆的位移 x， 则将 中构建出RvdBga2相这样就能出现题中已知量 x。tvRmdB相2例 3、如图所示，光滑金属导体 ab 和 cd 水平固定，相交于O 点并接触良好， aOc=60
8、一根轻弹簧一端固定，另一端连接一质量为 m 的导体棒 ef， ef 与 ab 和 cd 接触良好弹簧的轴线与 bOd 平分线重合虚线 MN 是磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场的边界线，距 O 点距离为L ab、 cd、 ef 单位长度的电阻均为 r现将弹簧压缩， t = 0 时，使 ef 从距磁场边界 处由静止释放，进入磁 4L场后刚好做匀速运动，当 ef 到达 O 点时，弹簧刚好恢复原长，并与导体棒 ef 分离已知弹簧形变量为 x 时，弹性势能为 ， k 为弹簧的劲度系数不计感应电流之间的相互作21x用证明：导体棒在磁场中做匀速运动时，电流的大小保持不变；求导体棒在磁场中做匀速运动
9、的速度大小 v0和弹簧的劲度系数 k；求导体棒最终停止位置距 O 点的距离解：设匀速直线运动的速度为 v0， ef 有效切割长度为 l，则电流：OabcdLBeL4f60MN，由于 v0不变，所以 I 不变。或由平衡条件证明同样正确rBlvI30由能量守恒，得： 20214521mvkLk）（设弹簧形变量为 x，由平衡条件，得： 2 BIxtan30= kx解得 v0 = k = 3B2L28mr B4L212mr2 ef 越过 O 点后，与弹簧脱离，设导体棒最终停止位置距 O 点的距离为 x0，某时刻回路中 ef 有效切割长度为 L1， ef 的速度为 v，加速度为 a，电流为 I， 据牛顿
10、第二定律，得： rIa31212取一小段时间 t，速度微小变化为 v，回路面积微小增加为 S，则 等式两边同时乘以 可得：即：tvLmrBta123 tvLmrBta123得S2 002tnxr将第（2）问结果代入可得 430L【题后小结】虽然本题涉及的物理模型较前两题更为复杂，且切割的金属杆的长度也在不断变化，但在前两题的基础之上，还是容易发现题中涉及到金属杆的位移 x 与金属杆的有效切割长度及扫过的面积之间存在着定量的关系 ， 则将中构建出 这样就能出现问题中的 x。mrvLBmBILa312121 tvLr123【规律总结及问题拓展】此类问题中对于金属杆的变加速运动过程的相关求解，其基本
11、步骤为（1）对金属杆进行正确的受力分析，再应用牛顿第二定律其加速度 肯定是包含a在内的一个表达式；（2）根据题中条件或问题，对加速度 表达式中的 部安F BILF安分进行合理的构建，具体的见上述例题中的“题后小结” 。 （3）对微分表达式进行求和，等式左边的 的求和结果就是此过程的速度改变量，等式右边的求和就可得到问题的答案。ta除上述情况外，如题中出现通过金属杆的电量 ，则只要在表达式中构建出 即可。qtIm【成功应用】 （2009 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷） 15 如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为
12、，条形匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。长度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”型装置，总质量为 m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为 I 的电流（由外接恒流源产生，图中未图出） 。线框的边长为 d（d l） ，电阻为 R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为 g。求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热 Q；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间 t1 ；（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离 m 。解
13、：(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W由动能定理 0sin4BIldWdg且 解得 Qmsi（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为 ，从释放到线框刚离开磁场下边界的过程中， 1v由动能定理 2sin2Qdg解之得 mBIlv/i41 ）（装置在磁场中运动时进行受力分析并结合牛顿第二定律可得取极短时间 t，在时间 t 内速度变化 mRvdga/sin2 即 tBtt2i tvmRdBtgta2sin可得 解得 dmRtgv2sin11 2312(sin)Iltg（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离 之间往复运动mx由动能定理 0sin）（ dxBIlgxmm解得 ildI【题后小结】本题的第（2）问，作为江苏高考卷的压轴部分，自然有一定的难度，但利用前面的规律，还是比较能方便求出答案。参考文献： 梁灿彬电磁学M北京:高等教育出版社，2004
