1、 数学思想方法在直线与圆中的运用 第 1 页 共 17 页 专题讲座 数学思想方法在直线与圆中的运用 1、数形结合的思想 . 2 练习 1 . 3 练习 1 答案 . 7 2.分类讨论的思想 . 7 练习 2 . 8 练习 2 答案 . 9 3.参数思想 . 9 练习 3 . 10 练习 3 答案 . 10 4.方程的思想 . 10 练习 4 . 12 练习 4 答案 . 13 5、转化思想 . 13 练习 5 . 15 练习 5 答案 . 15 6、函数思想 . 15 中国数学解题研究会 齐建民 中国数学解题研究会 齐建民 中国数学解题研究会 齐建民 数学思想方法在直线与圆中的运用 第 2
2、页 共 17 页 1、数形结合的思想 数形结合就是把抽象的数学符号语言与直观的图形结合起来，通过 “ 以形助数 ” 或 “ 以数解形 ” ，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证 来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。 数形结合思想是一种重要的解题思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决。 例 1 如图 ,圆 O1与圆 O2的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN（ M、 N 分别为切点），使得 2PM PN ,试建立适当的坐标系，并求动点 P
3、的轨迹方程 思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式： PN2 ,即 ，结合图形由勾股定理转化为： )1(21 2221 POPO ,设P(x,y),由距离公式写出代数关系式 ,化简整理得出所求轨迹方程 解：以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则 O1（ -2， 0）， O2（ 2， 0），由已知： PN2 ,即 ，因为两圆的半径都为 1,所以有： )1(21 2221 POPO ，设 P（ x,y）则（ x+2） 2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即33)6( 22 yx 综上所
4、述，所求轨迹方程为： 33)6( 22 yx （或 031222 xyx ） 例 2 设 k， a 是实数，要使关于 x的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于 k的一切值都有解，求实数 a 的取值范围 解 在平面直角坐标系中分别画出 l1： y=|2x-1|和 l2： y=k(x-a)+a 的图象(如图 )，其中 l2是过点 M(a， a)且斜率为 k 的直线系， l1是折线 y=2x-1(x 21 )和 y=-2x+1(xr三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时 m 的取值范围 解 当 d= 5 |3| m 1，即 m2 时，直线与圆相离 练习 2 1 直线 L经过点（ 3,4），且原
5、点 到 L的距离为 3，求直线 L的方程 2 直线 L与圆 422 yx 相交所得弦长为 32 ，求直线 L的方程 3 直线 L经过点（ 1,2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线 L的方程。 4 直线 L经过点（ 2,3），且与坐标轴围成的三角形面积为 3，求直线 L的方程 5、 直线 L经过点 ），（ 31 ，且与圆 422 yx 相切，求直线 L的方程 例 6 已知直角坐标平面上点 Q（ 2， 0）和圆 C： x2+y2=1，动点 M 到圆 C 的 切线长与|MQ|的比等于常数 （ 0）。求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线 。 解 析： 如图，设直线 MN 切圆 O 于 N，则动
6、点 M 组成的集合是 ：P=M|MN|=|MQ|(其中 0) ， 数学思想方法在直线与圆中的运用 第 9 页 共 17 页 圆半径 |ON|=1， |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2 1， 设点 M 的坐标为（ x， y），则 ， 整理得： ， 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P，故这个方程为所求的轨迹方程 。 当 =1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点 ； 当 1 时，方程化为 ， 它表示圆 ，该圆圆心的坐标为，半径为 。 点评 ：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类 讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结
7、论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果 。 6、 练习 2答案 3.参数思想 例 5 已知直线 (a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论 a为何值，直线总过第一象限 (2)为使这直线不过第二象限，求 a的范围 解 (1)将方程整理得为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=O 对任意实数 a，恒过直线 3x-y=O 与x-2y+1=0的交点 (51 ， 53 )， 直线系恒过第一象限内的定点 (51 ， 53 )； (2)当 a=2时，直线为 x=51 不过第二象限；当 a 2时，直线方程化为： y= 213aa x- 21a ，不过第二象限的充要条件为0210213aaa或
8、0210213aaa a2，总之， a 2时直线不过第二象限 数学思想方法在直线与圆中的运用 第 10 页 共 17 页 例 6 过点 P(2， 1)作直线 l，与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于 A、 B 两点， | PA| | PB|的最小值及此时 l 的方程 分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法 解 设直线 AB 的倾斜角为 (2 ), 则直线 AB的参数方程为 sin1 cos2 ty tx令 x=O，则得 B点所对应的参数 t=- cos2 ， 令 y=O，则得 A点所对应的参数 t=- sin1 |PA| |PB|=|- cos2 | |-
9、sin1 |=|2sin| 4当 a= 43 时 |PA| |PB|有最小 值 4，此时直线 l的方程为 43sin143cos2tytx即tytx221222练习 3 练习 3答案 4.方程的思想 根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法 例 7 已知直线 l在 x轴上的截距比在 y轴上的截距大 1，且过一定点 P(6， -2)，求直线的方程 解法一 设直线 l的方程为 ax +by =1 直线 l过点 (6， -2)， a6 -b2 =1 又 a=b+1代入整理得 b2-3b+2=O，解之 b1=1， b2=2， a1=2， a2=3代入得所求的直线方程为 x+2y-2=O或 2x+3y-6=O 解法二 设所求直线 l 的斜率为 k，又直线 l 过定点 P(6， -2)，于是直线 l 的方程是
