1、四川师范大学数学与软件科学学院,常微分方程,赵凌,第一章 基本概念第二章 初等积分法第三章 存在唯一性定理 第四章 奇 解第五章高阶微分方程第六章 线性微分方程组第七章 微分方程的幂级数解法(选学）第八章 定性理论与分支理论初步,常微分方程 目录,第一章 基本概念,1.1 微分方程及其解的定义 1.2 微分方程及其解的几何解释,1.1 微分方程及其解的定义,一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数
2、可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程. 实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.,附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中,就是常微分方程；,如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中,就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.在上面例1中，,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶
3、微分方程；,是四阶微分方程.,线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.,在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程,微分方程的解：如果将函数,代入微分方程后,能使方程成为恒等式，,这个函数就称为该微分方程的解,微分方程的解有两种形式：,常微分方程的通解,微分方程的特解,如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为,不含有任意常数的解，称为,初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,解：,由初始条件,代入,由初
4、始条件,代入,则,于是，满足所给初始条件的特解为,定义1 （线性相关，线性无关）,设函数,是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数,使得对于内的任一 恒有,则称函数 在内线性相关，,否则称为线性无关,线性相关的充分必要条件是 在区间 内恒为常数,若 不恒为常数，则 线性无关,当 与 线性无关，函数 中,含有两个独立的任意常数 和,例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,解: 设所求的曲线方程为,由导数的几何意义, 应有,即,又由条件: 曲线过(1,3), 即,于是得,故所求的曲线方程为:,例2 物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中, 在时刻,时, 测得它
5、的温度为,10分钟后测量得温度为 试决定此物,体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在,解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到,其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.,注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关
6、系式, 以后再介绍.,例3 R-L-C电路,如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因为 于是得到,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,例4 数学摆（单摆）,数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为
7、 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.,解: Newton第二定律:,取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方向. 则由Newton第二定律, 得到摆的运动方程为,附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小时, 可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:,附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 如果阻力系数为 则摆的运动方程为:,附注3: 假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:,1.2 微分方程及其解的几何解释,第二章 初等积分法,2.1 恰当方程,2.2 变量分离方程,
8、一、 可分离变量的微分方程,可用分离变量法解的一阶方程的一般形式,(1),一阶微分方程的正规形式：,分离变量：,两边同时关于 x 求不定积分：,写出通解：(结果含有一个任意常数),是方程的解，不可遗漏，见以下分析。,需要注意 的零点 有可能,解,解方程,即,是原方程的通解。,分离变量 ,例1,例2 求微分方程 的通解.,解 分离变量,两边积分得,又可写为,故方程的通解为:,取指数,例3,求解定解问题：,解 先求通解,两边同时积分得 ,或,分离变量,进一步 ,进一步化简得通解 ,或,则,记,再求特解，为此在通解中令,于是所求定解问题的特解为:,例4 求解,解 先求通解，,分离变量,两边同时积分,
9、而得到对应初始条件的特解：,由条件,即,例8 求,例5 求微分方程,的通解.,例6 求满足方程,且过点（1，2）的积分曲线.,例7 求微分方程,的通解.,的通解.,例9 求,对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,例12 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,求u (x, y), 使得,例11 若f (x ) 二阶连续可微，,例10 求,的特解.,满足y (1) =0,2.3 一阶线性微分方程,1. 标准一阶线性方程,一般形式,用分离变量法，求齐次方程(2)的通解；,用常数变易法法，求非齐次方程(1)的,的一个特解,(其实同时能得出(1)的通解).,比较,常数
10、变易法,以上说明，为求得(1),的一个解，只要把齐次方程 (2) 通解中的常数 C 变为 C(x) , 再将其代回原非齐次方程(1), 若C(x)可定出, 问题就解决了.,齐次方程(2)的通解,非齐次方程(1)的对应C = 0的特解,最后写出非齐次方程(1)的通解为,或,例1 解方程,解,记 , 并允许 C 取零而包含特解,解 先求对应齐次方程 的通解。,例2 求初值问题,再根据初条件求特解, 将 代入通解,得原方程的通解为：,例3 求解方程,解 此方程的正规形式是：,它是非线性的，又不能分离变量，现将方程改写为：,于是得原方程特解：,这已是以 x 为未知函数的、标准的一阶线性非齐次方程, 先
11、求得 齐次 通解，,进而化成,原方程的通解,2.4 初等变换法,一、齐次方程二、伯努力方程三、里卡蒂方程,一: 齐次方程,形如,称为齐次方程,通解,代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是,两边积分得,解 设u= xy, 则 du = yd x + xd y,于是,且过点（1，2）的积分曲线.,例 求满足方程,例 求微分方程,积分得,即原方程化为,解 设,的通解.,例 求,积分得,解 原方程化为,的通解,例 求,解 原方程化为,满足y (1) =0的特解.,可化为齐次方程,即,这已经是可分离变量的方程了。,则,例7,解 先解,(*),于是方程 (*) 进一步转化为,分离变量
12、:,两边同时积分得:,二. Bernoulli 方程,一般形式,先化成标准一阶线性方程,(*),由(*)得：,解上述一阶线性方程，设其通解为,例1 解方程,解,将方程改写为,因此，原方程的通解为：,2.5 积分因子法,例 求,解 设,的通解.,例 若f (x ) 二阶连续可微，,解 这里,求u (x, y), 使得,例 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,解 固定 x , 对 y 求导，,对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,两边再对x求导,整理得,令,例 求微分方程,解 将方程改写为,的通解.,例 求方程,x 却是线性的，把方程化为,解 该方程关于 y
13、为未知数是非线性的，但是关于,的满足条件y (0)=1的特解.,例 求方程,解 这是n = 6 的伯努利方程，代入公式得,的通解.,例 求,解 把方程改写成,的特解,即,这是关于n = - 3的伯努利方程,例 若y =ex是方程,这是一个一元线性非齐次方程 ，于是,于是有,程有,解 首先，求出未知函数p (x),把y = ex 代入原方,求满足 y (ln2)=0 的特解.,的一个解，,例 若,解 设 ux=t ,则,当 u = 0, t = 0;当u = 1, t = x.,例 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且,解 方程,的解为,证明方程,例 若曲线过点N(1,1), 曲线上任意一点
14、P(x,y)处 的切线与 Oy 轴交于Q, 经PQ为直径做的圆过A(1,0) ，求此曲线方程.,解 过点P(x,y)的切线方程为,由于MQ = MA, 则,线段PQ的中点M,令 x =0, 则点Q (0, y xy ),整理得,这是 n = -1的伯努力方程，解之得,考虑到 y (1) = 1,则 C = 0，于是所求曲线为,例 解方程,解,例 13 解方程,解 设,积分得,再积分得原方程的通解为,则原方程可化为,例 14 解方程,解 由于,设,则,其特征根是1，-1，所以,例 15 求方程,解,代入原方程得,解这个微分方程，得其通解为,的通解.,例 16 求微分方程,适合条件,的特解.,解
15、设,则原方程化为,解之,由于,积分两次有,例 17 求方程,解 设,原方程可化为,当p = 0时，y = C是方程的解，当p 0时，有,积分得,例 18 若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为 a , 且曲线经过点(0, a), 并在(0, a)处的切线平行于Ox 轴,求曲线方程.,解 依题意有,设,分离变量，解之得,由,由于 y(0)=a,于是原方程的通解为,例 19 设物体 A 从点(0,1)出发以常速度 v 沿 y 轴正向运动,物体B以常速度 2v 从 点 (-1,0) 与A同时出发,方向始终指向A .试建立物体 B运动轨迹所满足的微分方程.,解 在时刻 t, 物体B位
16、于P(x,y), Q(0,vt+1),过 P(x,y)的切线方程是,代入点Q(0,vt+1),有,由弧长公式,所求方程为：,例 20 求方程,解 特征方程,原方程的通解,代入初始条件，解得 C = 1, D = -1.,于是原方程的特解为,例 21 求方程,解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的,可以判断出其特解为,代入初始条件解得,通解为,例 22 解方程,解 不难求出方程的特征根为2，2.,方程,的特解,方程,的特解,方程,的特解,原方程的特解,代入初始条件，并解方程组，求得,解,由于,是原方程的解，故,例23 设y1 = (x)是方程,的一个解,若,求出此方程的另一个与 y1线性,
17、无关的解,并写出所给方程的通解.,令,原方程的通解为,例 24 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足,解 两边对 x 求导, 得到,整理即,再求导，并整理得到微分方程,解之得,即,例 25 若可微函数f (x) 满足方程,解 由所给方程可知 f (1)=1,两边对 x 求导, 得,记 y =f (x), 则上述方程化为,这是关于 n = 3 的伯努力方程.,则,整理即,例 27 设函数f (x) 满足 xf (x) 3 xf (x) = 6x2求由曲线y=f (x), x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小.,解 原方程可化为,旋转体的体积为,令,又,所以V(C
18、)在此唯一驻点处取最小值，所求函数为,例 28 若f (x) 可微,解 令 y = 0, 则,对任何x, y, 有,解方程,得通解,代入条件 f (0) = 0 , 则 C = 0 , 所以,2.6 应用举例,解,常数,求其运动方程.,解,故由牛顿第二定律得质点满足的方程为,或,通过积分容易得出,第三章 存在唯一性定理,第一节 毕卡存在和唯一性定理第二节 皮亚诺存在定理第三节 解的延伸第四节 比较定理及应用,第四章 奇 解, 4.1 一阶隐式微分方程 4.2 奇解 4.3 包络, 4.1 克莱罗（Clairaut）方程,定义5：,形如,的方程，,称为克莱罗（Clairaut）方程.,其中,是,
19、的已知连续可微函数.,这是就y已解出的一阶微分方程.,为求它的解,令,得,两边对x求导,并以,代入,即得,经化简,得,如果,则得到,于是, Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的一个解:,如果令,则,或,其中c为参数.,因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.,并且可以证明, 此参数曲线恰为通解的包络,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.,例7:,求解方程,解:,这是Clairaut方程,因而它有通解:,其中,因为,所以,从,中消去参数
20、c,得到原方程的奇解:,故, 此方程的通解是直线族:,而奇解是通解的包络:,如图:,x,y,O,例8:,求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.,x,y,o,A(a,0),B(0,b),设所求的曲线的切线方程为,按条件, 有,而,消去a,b 得到,或,这是Clairaut方程,其通解为,其中,为任意常数.,显然, 此直线族中的每一条直线截割,坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.,为求此曲线族的包络,即微分方程的奇解,从,中消去参数c,得到微分方程的奇解,直接检验可知曲线,就是要求的曲线., 4.2 奇解,定义3：,对于一阶微分方程 F（x,y,y）=0. 如果
21、存在一条曲线,满足下列条件：,(1),为方程的一条积分曲线;,(2),上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该,点相切.,则称曲线,(即积分曲线),为方程F(x,y,y)=0 的一条奇积分,曲线, 所对应的解称为奇解.,注:,方程F(x,y,y)=0 的奇解是这样的一个解,使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立.,问题:,给定一个具体的微分方程F(x,y,y)=0, 如何求它的奇解呢?,结果:,对于一阶微分方程F(x,y,y)=0,设,是它的通解.,如果积分曲线族,的包络,存在,则包络,就是方程F(x,y,y)=0的一条奇积分曲线,即,所对应的解就是方程F(x,y,y)=0的奇解.,
22、例4:,求微分方程,的奇解.,解:,令,求得它的通解为:,令,消去参数c,得到,和,经检验:,不是,的包络,从而,不是方程的奇解,(实际上,不是方程的解);,是,的包络,从而,是方程,的奇解.,问题:,能否不通过求方程F(x,y,y)=0的通解,而由方程,F(x,y,y)=0本身求的奇解呢?,由隐方程的存在唯一性定理(p76):,对于,如果,但,则初值问题:,在,(h为足够小的正数),上存在唯一解.,因此,方程F(x,y,y)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组:,消去参数p而得到的曲线,中.,定义4:,对于微分方程F(x,y,y)=0,从方程组:,消去参数p而得到的曲线,称为方程F(x,y
23、,y)=0,的p-判别曲线.,定理2:,设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数.,若微分方程F(x,y,y)=0有奇积分曲线, 则它必含在F(x,y,y)=0的,附注:,p-判别曲线,中.,从方程F(x,y,y)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为,方程F(x,y,y)=0的奇积分曲线, 即奇解, 需要作进一步验证:,该支曲线是方程F(x,y,y)=0的积分曲线; (2) 该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y)=0的另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切. 如果(1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线;如果(1)成立, 而(2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不
24、是奇积分曲线只有当(1)和(2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解.,进一步,可以证明:,定理2*:,奇解必须同时适合方程组:,并且只有当上述三个方程之一,比如,是其它两个方程的结果时,奇解才有可能存在.,例5:,求微分方程,的奇解.,解:,令,消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线,即,可以证明,和,是方程,的奇解.,例6:,求微分方程,的奇解.,解:,令,消去p: 得到p-判别曲线:,即,和,经验证:,是方程的奇解;,而,不是方程的奇解,实际上,它不是方程的解.,x,y,O, 4.3 包络,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(
25、1),(2) 对任意的,存在唯一的,使得,且,与,在,有相同的切线.,则称,为曲线族,的一条包络线,简称为包络.,例如，,单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图,R,从图形可见,此曲线族有包络:,y=R 和 y= -R .,但是,并不是每个曲线族都有包络.,例如: 单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见, 此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,其中,为参数.,如何判断它是否有包络?,如果有包络, 如何求?,根据定义, 假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,从而得到
26、二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,任取一个固定点M, 则M在某一条曲线,上.,由于,与,现在在M点有相同的切线,因为,与,在M点的切线的斜率,分别为,与,所以, 有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,因此, 包络线,任意一点M不仅要满足,而且还要满足,定义2:,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,定理1(包络的必要条件):,设,及其各一阶偏导数是,(x,y,c)的连续函数,且,有连续光滑的包络,则包络必位于,的c-判别曲线中.,注:,的包络是c-判别曲线,但c-判别曲线未必是包络.,因此从c-判别
27、曲线分解出来的一支或数支曲线是否为,的包络,尚需按定义作进一步的验证.,例1:,的包络.,解:,记,则,消去参数c, 得,于是,和,是两支c-判别曲线.,经验证,和,是,的包络.,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,O,x,y,例3:,求曲线族,的包络.,解:,记,则,消去参数c:,由(2)得,(3)代入(1),得,化简得,于是,的两支c-判别曲线为:,将,代入(2), 得,于是得到一支c-判别曲线,将,代入(2), 得另一支c-判别曲线,显然,考察,因为对任意的,则有,解之得,对,切线不存在;
28、,对,在,点的切线的斜率为,所以,不是,的包络;,考察,对任意的,则有,因为,所以,于是,在,点的切线的斜率为,所以,是,的包络.,x,y,O,第五章高阶微分方程,5.1 几个例子 5.2 n维线性空间中的微分方程5.3 解对初值和参数的连续依5.4 赖性解对初值和参数的连续可微性,二、可降阶的高阶微分方程,所以,方程的解法：,方程的特点：方程右端不显含未知函数 .,则,代入方程得,解 因为方程,不显含未知函数y,所以令,则,将其代入所给方程,得,分离变量得,两边积分,所以,代入原方程得,即,5.3 解对初值和参数的连续性依赖性,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性,内容:,G,图例分析(
29、见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,解对初值的连续依赖性,此结论我们曾作为Gronwall不等式的应用练习过!,引理2 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不等式 .其中 为所考虑区间内的某一值。,定义 设 令 则称 为 之间的距离。,定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区
30、间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限覆盖定理,存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S 运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,第三步:证明,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有
31、:,定理2 (解对初值的连续性定理,P88),条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,本节课小结,复习思考题：p93T2,第六章 线性微分方程组,6.1 一般理论6.2 常系数线性微分方程组6.3 高阶线性微分方程,6.1 线性微分方程的一般理论,一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法,一、解的存在唯一性定理,二、齐线性方程的解的结构与性质,三、非齐线性方程与常数变易法,6.2 常系数线性微分方程组,一、常系数齐线性微分方程的解法 二、常系数非齐线性微分方程的解法,一、常系数齐线性微分方程的解法,I: 特征根是单根的情形 II:
32、特征根有重根的情形,I: 特征根是单根的情形,II: 特征根有重根的情形,二、常系数非齐线性微分方程的解法,第七章 微分方程的幂级数解法（选学）,7.1 柯西定理7.2 幂级数解法7.3 勒让填多项式7.4 广义幂级数解法7.5 贝塞尔函数,第八章 定性理论与分支理论初步,8.1 动力系统,相空间与轨线8.1 解的稳定性,一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷,线性化系统为：,二、考虑无阻力数学摆,取函数,性质:,Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性,特殊函数Liapunov函数,Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式,三、 Liapunov第二方法的一般理论,四、Liapunov第二方法的几何解释,图1,从定正函数梯度角度解释Liapunov第二方法,图,
