1、第一章 抽样和抽样分布 1.4 子样数字特征 子样值的数字特征（子样数字特征的观察值） 子样均值 ni ixnx 11 子样方差 212212 1)(1 xxnxxns ni ini in 子样均方差 212211)(1 xxnxxns ni ini in 修正子样方差 )(11)(11 21 2212* xnxnxxnsni ini in 修正子样均方差 )(11)(1121221* xnxnxxns ni ini in 子样 k 阶原点矩 nikik xnA11 子样 k 阶中心矩 nikik xxnB1 )(1 当子样值以频数分布给出时 子样均值 li ii xmnx 1*1 子样方差
2、212*21*2 1)(1 xxmnxxmns li iili iin 子样均方差 212*21* 1)(1 xxmnxxmns li iili iin 修正子样方差 )(11)(11 21 2*21 *2* xnxmnxxmnsli iili iin 修正子样均方差 )(11)(11 21 2*21 * xnxmnxxmnsli iili iin 子样 k 阶原点矩 likiik xmnA1*1 子样 k 阶中心矩 likiik xxmnB1* )(1 顺序统计量 定义 ：子样 ),( 21 nXXX 有子样值 ),( 21 nxxx ，将数据 nxxx , 21 由小到大重新排序后记为 )
3、()2()1( , nxxx ，将其视为随机变量 ),( )()2()1( nXXX 的观察值，则称 ),( )()2()1( nXXX 为 ),( 21 nXXX 的 顺序统计量 注： )()2()1( , nXXX 不独立 子样中位数 及其观察值 : 为偶数为奇数nXnXMenn)12()2 1(子样极差 :iniinin XXXXR m i nm a x 11)1()( 2 一些常用的抽样分布 2.1 2 分布 2 分布的定义 ： nXXX , 21 是来自母体 )1,0( NX 的一个子样，则称222212 nXXX 服从自由度为 n 的 2 分布，记为： )( 22 n 概率密度函数
4、 )(xfn 时，时0 0 0 ,)2(21)(2122xxexnxfxnnn 2 分布的性质： 期望、方差： )( 22 n ，则 nE )( 2 , nD 2)( 2 可加性，即：若 )( 1221 n ， )( 2222 n ，且 21 与 22 相互独立，则有)( 2122221 nn 极限性质：设 )( 22 n ，则对 Rx 有 2 的标准化变量nn22 的分布函数)(xFn 满足： )()(lim xxFnn . 从而当 n 充分大时， )1,0(2 2 Nnn 近似， )2,(2 nnN近似 . 当 45n 时 , nunn 2)(2 2 分布的上侧分位数 定义 ：设 )( 2
5、2 n ，则对于 ），（ 10 ，存在唯一实数 )(2 n ,使得 )(22 2 )()( n n dxxfnP 称实数 )(2 n 为 2 的上 分位数 备注 ： 随机变量的上侧分位数 定义 ：设 X 的分布密度为 )(xf , 则对 ），（ 10 ，存在唯一实数 x ,使得 x dxxfxXP )()( ，称实数 为 X 的上侧 分位数 )1 ,0(N 的上侧分位数 定义 ：设 )1 ,0( NU , 则 ），（对 1 0 ，存在唯一实数 u ，使 u dxxuUP )()( 称实数 u 为 U 的上 分位数 求法 ： )(1)(1)( uuUPuUP ， 故 ： 1)(u ，反查标准正态
6、分布函数表，可得 u 值 . 2.2 t 分布 定义 ：设 )1,0( NX ， )( 2 nY ，且 X 与 Y 相互独立，令nYXT /，则称 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为： )( ntT 概率密度函数 )(tfn ： tntnnntfnn ,)1()2()2 1()( 212性质： t 分布的极限分布是 )1,0(N . n 很大时，若 )( ntT ，则 )1,0( NT 近似 . )(1 nt )(nt 当 45n 时 , unt )( t 分布的上侧分位数 定义 ：设 )( ntT ，则 ），（对 10 存在唯一实数 )(nt ,使 )( )()( nt n dxxfn
7、tTP 称实数 )(nt 为 T 的上 分位数 2.3 F 分布 定义 ： 设 )( 12 nX ， )( 22 nY ，且 X 与 Y 相互独立，21/nY nXF ，则称 F 服从自由度为 ),( 21nn 的 F 分布， 1n 为第一自由度、 2n 为第二自由度 . 记为：),( 21 nnFF 概率密度函数 )(zf ： 时，时0 0 0 ,)1()()2()2()2()(2211221212121121zzznnznnnnnnzfnnnn性质 ： ),( 21 nnFF , 则 ),(112 nnFF; ),1( ),( 2 nFTntT 则 ; ),(1),( 12121 nnFn
8、nF 备注 ： 当 较接近 1 时， ),( 21 nnF 不能从附表 4 直接查到，故应查表求 ),( 121 nnF ，再用此公式计算 ),( 21 nnF . 2.4 抽样分布定理 单个正态母体情形 定理 1 设母体 X 有： nXXXXDXE ,)(,)( 212 是 X 的一个子样， X是子样均值，则 2( ) , ( )E X D X n； 特别 ，当 ),( 2NX 时， ),( 2nNX ， (0, 1)/X Nn . 定理 2 nXXX , 21 是来自母体 ),( 2NX 的一个子样，则 )1()1( 22* 2 nSn n ； X 与 2*nS 独立； )1(/* ntn
9、SXn . 两个正态母体情形 定理 3 1, 21 nXXX 是来自母体 ),( 211 NX 的一个子样，2, 21 nYYY 是来自母体 ),( 222 NY 的一个子样， YX, 相互独立，则 )1,0()()(22212121 NnnYX ； )1,1(/2122*21*22 nnFSSYX ； 当 2 2 212 时， )2(11)()(2121*21 nntnnSYXW ， 其中：2)1()1(21*2*1* 222nnSnSnS YXW. 大子样情形 （子样容量 50n ） 定理 4 nXXX , 21 是 来 自 母 体 X 的 一 个 子 样 ， 50n ， )(XE ，则)
10、1,0(/ NnSX 近似 ； 1, 21 nXXX 是来自母体 X 的一个子样， 501n ， 1)( XE ，2, 21 nYYY 是来自母体 Y 的一个子样， 502n ， 2)( YE ， YX, 相互独立 , 则)1,0()()(22212121 NnSnSYX 近似 . 1.3 最大似然估计法 当 X 为离散型母体 设母体 X 的分布律为 );()( xpxXP 其中 );( xp 的函数形式已知，但参数 （一维或多维）未知。若子样 nXXX , 21 有观测值 nxxx , 21 ，则已发生的事件, 2211 nn xXxXxXA 的概率 ni ini inn xpxXPxXxX
11、xXPL 112211 ;,)( 称为 似然函数 . 再求出使关于 的函数 )(L 取得最大值的 作为未知参数 的最大似然估计 . 当 X 为连续型母体 设母体 X 的分布密度为 ),;( xf 其中 );( xf 的函数形式已知，但参数 （一维或多 维 ） 未 知 。 子 样 nXXX , 21 有 观 测 值 nxxx , 21 ， 则 似 然 函 数 取 为 ni ixfL 1 );()( ，再求使 )(L 取得最大值的 . 1.4 用 Me 和 R 估计正态母体的参数 正态母体中子样中位数 Me的渐进分布 定理： 设 nXXX , 21 是来自 ),( 2NX 的一个子样， Me 是子
12、样中位数，则对于Rx ，有 )()2(lim xxnMePn 定理表明，当 n 充分大时， )1,0(2 NnMe 近似 ，从而 )2,( nNMe 近似 ， nMeDMeE 2)(,)( ， 且 n 越大时， Me 在 附近取值的概率越大。 正态母体中子样级差 R 的期望和方差 定理： 设 nXXX , 21 是来自母体 ),( 2NX 的一个子样， R 是子样级差，则 ndRE )( ， 22)( nvRD ，从而有 )1( RdE n ， 22)()1( nnn dvRdD 其中 nnvd, 与子样容量 n 有关，可查表 2-1（ P41） . 用 Me和 R 估计正态母体参数的方法 求
13、 ：当 n 很大时，可取 Me . 求 ： 当 10,3,2 n 时 , 可取 Rdn1； 当 10n 时 , 取 Rdn1估计 时误差会较大，为此 （）将子样的 n 个值分成 k 组，每组数据不超过 10 个； （）求各组子样级差 ),2,1( kiRi ，再求平均级差 ki iRkR 11 （）取 Rdn01，其中 knn0，即每组中数据的个数 . 2 估计量的评选标准 2.1 无偏估计 定义 ： 设 是未知参数 的估计量，若 )(E ，则称 是 的 无偏估计 若 )(E ，则称 是 的 有偏估计 若 )(lim En，则称 是 的 渐近无偏估计 2.2 优效估计 有效性 定义 ： 设 2
14、1, 都是 的无偏估计，若对于任意子样容量 n 有 )()( 21 DD ，则称 1 比 2有效 罗 -克拉美（ R-C）不等式 (连续母体情形 ) 2);(ln()( XfEI 0);();(ln( 2 dxxfxf 则有 不等式 )(1)( nID 此不等式称为 R-C 不等式，)(1nIIR 称为 R-C 下界 . 优效估计 定义 :若 的无偏估计 的方差达到 R-C 下界 , 即 RID )( ， 则称 是 的 优效估计 2.3 相合估计 定义 : 若当 n 时 , P , 则称 是 的 相合估计 (consistent estimator，或称为一致估计 ). 这样， n 充分大时（
15、即对于大子样）， 与 充分接近几乎是必然的，从而可以用一次抽样所得的 去估计 . 结论： 1) X ， 22 nS 分别是 2, 的相合估计 . 2) 2*2 nS 也是 2 的相合估计 . 3 区间估计 3.2 大子样对母体均值的区间估计 设 母体 X的分布是任意的 ， 2)(,)( XDXE 均存在且未知 ，从母体 X 中抽大子样 50, 21 nXXX n ，试以概率 )1,0(1 对母体均值 作区间估计 解： 的点估计可取为 X ； 由中心极限定理知 )1,0( NnX 近似 ，但其中 是未知参数，注意到 2S 是 2 的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有 )1,0( NnSXU近
16、似 以此随机变量作为 枢轴量 . 给定置信概率为 1 )10( ，则存在 ,2u使 1 2uUP ，即 12unSXP 亦即 122 nSuXnSuXP 于是， 的置信概率为 1 的置信区间为 ) ,(22 nSuXnSuX . 3.3 正态母体均值的区间估计 现在考虑 方差未知 时 正态母体 均值的区间估计。 问题： 母体 ),( 2NX , 2 未知 ,求 的置信概率为 1 )10( 的置信区间。 解 : 的点估计可取为 X ； 由抽样分布定理知 )1(* ntnSXTn 以此随机变量为 枢轴量 . 给定置信概率为 1 )10( ，则存在 )1(2 nt，使 1)1( 2 ntTP ，即
17、1)1( 2* ntnSXPn亦即 1)1()1( *2*2 nSntXnSntXP nn 故 的置信概率为 1 的置信区间为 )1( ,)1( *2*2 nSntXnSntX nn 3.4 大子样对两母体均值之差的区间估计 问题： 设母体 iX 的分布是任意的， 2)(,)( iiii XDXE 均存在且未知，独立地从两母体中抽取大子样 50, 21 iinii nXXXi， iX 是子样均值， 2iS 是子样方差，2,1i . 试以概率 )1,0(1 对母体均值之差 21 作区间估计。 解： 21 的点估计可取为 21 XX ； 中心极限定理知 ),( 2iiii nNX 近似 由两子样独立性知两子样均值独立，故 ),( 2221212121 nnNXX 近似 )1,0()()( 2221212121 NnnXX 近似 但其中 2i 是未知参数，注意到 2iS 是 2i 的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有
