1、1数学九年级上册（人教版） 知识点总结第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有 4 是可开得尽方的因数，又如 ， ， .都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为 2。4.有理
2、化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与 a- ， - 与 + ，互为有理化因式。二次根式的性质：1. (a0)是一个非负数, 即 0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = （a0,b0）。25.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a0,b0）。21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指
3、数不变，即（ 0， 0）。说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、 都是非负数；（2） （ 0， 0）可以推广为（ 0， 0）； （ 0， 0，0， 0）。（3）等式 （ 0， 0）也可以倒过来使用，即 （0， 0）。也称“积的算术平方根 ”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即 （ 0， 0）。说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，0， 在分母中，因此 0；（2） （ 0， 0）可以推广为（ 0， 0， 0）；3（3）等式 （ 0，
4、0）也可以倒过来使用，即（ 0， 0）。也称“商的算术平方根” 。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。3. 最简二次根式一个二次根式如果满足下列两个条件：（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。说明：（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式（1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类
5、二次根式。注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。2. 二次根式的加减（1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。（2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：4i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一
6、组iii）合并同类二次根式3. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：（1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。（2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。（3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。4. 分母有理化（1）我们在前面的学习中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化综合起来，常见
7、的有理化因式有： 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 （2）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在 一 个 等 式 中 ， 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 2 次 的 整 式 方 程 叫做 一 元 二 次 方 程 。 一 元 二 次 方 程 有 四 个 特 点 ： (1)只 含 有 一 个 未 知 数 ； (2)且 未 知 数 次 数
8、最 高 次 数 是52； (3)是 整 式 方 程 要 判 断 一 个 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 ， 先 看 它 是 否 为 整 式 方 程 ，若 是 ， 再 对 它 进 行 整 理 如 果 能 整 理 为 ax2+bx+c=0(a 0)的 形 式 ， 则 这 个 方 程 就 为一 元 二 次 方 程 （ 4） 将 方 程 化 为 一 般 形 式 ： ax+bx+c=0 时 ， 应 满 足 （ a 0）22.2 降次解一元二次方程 解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 想 方 法 是 通 过 “降 次 ”将 它 化 为 两 个 一 元 一 次 方 程 。 一元 二 次
9、方 程 有 四 种 解 法 ：1、 直 接 开 平 方 法 ： 用 直 接 开 平 方 法 解 形 如 (x-m)2=n (n 0)的 方 程 ， 其 解 为 x= m. 直 接 开 平 方 法 就 是 平 方 的 逆 运 算 .通 常 用 根 号 表 示 其 运 算 结 果 .2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。1.转 化 ： 将 此 一 元 二 次 方 程 化 为 ax2+bx+c=0 的 形 式 (即 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ） 2.系 数 化 1： 将 二 次 项 系 数 化
10、为 1 3.移 项 ： 将 常 数 项 移 到 等 号 右 侧 4.配 方 ： 等 号 左 右 两 边 同 时 加 上 一 次 项 系 数 一 半 的 平 方 5.变 形 ： 将 等 号 左 边 的 代 数 式 写 成 完 全 平 方 形 式 6.开 方 ： 左 右 同 时 开 平 方 7.求 解 ： 整 理 即 可 得 到 原 方 程 的 根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac 的值，当 b2-4ac0时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式 x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因 式 分 解 法 ： 把 方 程 变 形 为 一 边 是 零
11、 ， 把 另 一 边 的 二 次 三 项 式 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的积 的 形 式 ， 让 两 个 一 次 因 式 分 别 等 于 零 ， 得 到 两 个 一 元 一 次 方 程 ， 解 这 两 个 一 元 一 次 方程 所 得 到 的 根 ， 就 是 原 方 程 的 两 个 根 。 这 种 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 叫 做 因 式 分 解 法 。22.3 实际问题与一元二次方程6列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这
12、类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等。第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转1. 图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图
13、案。（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。（4）会找对应点，对应线段和对应角。2. 旋转的基本特征：（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。3. 几点说明：（1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。（3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋
14、转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。723.2 中心对称 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 180，假如它能够与另一个图形重合，那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称的性质：关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。关于中心对称的刘遇图形是全等形。中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。对称点的坐标规律：关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点对称
15、：横坐标、纵坐标都互为相反数。23.3 课题学习 图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形，图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体现了设计意图第二十四章 圆 24.1 圆 定 义 ： （ 1） 平 面 上 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 所 有 点 组 成 的 图 形 叫 做 圆 。 （ 2)平 面 上 一 条 线 段 ， 绕 它 的 一 端 旋 转 360， 留 下 的 轨 迹 叫 圆 。 圆 心 ： （ 1） 如 定 义 （ 1） 中 ， 该 定
16、点 为 圆 心 （ 2） 如 定 义 （ 2） 中 ， 绕 的 那 一 端 的 端 点 为 圆 心 。 （ 3） 圆 任 意 两 条 对 称 轴 的 交 点 为 圆 心 。 8（ 4） 垂 直 于 圆 内 任 意 一 条 弦 且 两 个 端 点 在 圆 上 的 线 段 的 二 分 点 为 圆 心 。 注 ： 圆 心 一 般 用 字 母 O 表 示 直 径 ： 通 过 圆 心 ， 并 且 两 端 都 在 圆 上 的 线 段 叫 做 圆 的 直 径 。 直 径 一 般 用 字 母 d表 示 。 半 径 ： 连 接 圆 心 和 圆 上 任 意 一 点 的 线 段 ， 叫 做 圆 的 半 径 。 半
17、径 一 般 用 字 母 r 表示 。 圆 的 直 径 和 半 径 都 有 无 数 条 。 圆 是 轴 对 称 图 形 ， 每 条 直 径 所 在 的 直 线 是 圆 的 对 称 轴 。在 同 圆 或 等 圆 中 ： 直 径 是 半 径 的 2 倍 ， 半 径 是 直 径 的 二 分 之 一 .d=2r 或 r=二 分 之 d。 圆 的 半 径 或 直 径 决 定 圆 的 大 小 ， 圆 心 决 定 圆 的 位 置 。 圆 的 周 长 ： 围 成 圆 的 曲 线 的 长 度 叫 做 圆 的 周 长 ， 用 字 母 C 表 示 。 圆 的 周 长 与 直 径 的 比 值 叫 做 圆 周 率 。 圆
18、 的 周 长 除 以 直 径 的 商 是 一 个 固 定 的 数 ， 把 它 叫 做 圆 周 率 ， 它 是 一 个 无 限 不 循 环 小数 （ 无 理 数 ） ， 用 字 母 表 示 。 计 算 时 ， 通 常 取 它 的 近 似 值 ， 3.14。 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 。 90的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 。 圆 的 面 积 公 式 ： 圆 所 占 平 面 的 大 小 叫 做 圆 的 面 积 。 r2， 用 字 母 S 表 示 。 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 是 圆 心 角 的 二 分 之 一 。 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 相 等 的
19、圆 心 角 所 对 的 弧 相 等 ， 所 对 的 弦 相 等 ， 所 对 的 弦 心 距 也 相等 。 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 条 弧 相 等 ， 那 么 他 们 所 对 的 圆 心 角 相 等 ， 所 对 的 弦 相 等 ，所 对 的 弦 心 距 也 相 等 。 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 条 弦 相 等 ， 那 么 他 们 所 对 的 圆 心 角 相 等 ， 所 对 的 弧 相 等 ，所 对 的 弦 心 距 也 相 等 。 周 长 计 算 公 式 1.、 已 知 直 径 ： C= d 2、 已 知 半 径 ： C=2 r 3、 已 知 周 长 ： D=
20、c 4、 圆 周 长 的 一 半 :12 周 长 (曲 线 ) 5、 半 圆 的 长 ： 12 周 长 +直 径 面 积 计 算 公 式 ： 1、 已 知 半 径 ： S= r 平 方 92、 已 知 直 径 ： S= （ d2） 平 方 3、 已 知 周 长 ： S= (c2 )平 方24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆外 点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。3. 外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
21、条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4. 直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。5. 直线和圆位置关系的性质和判定如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l的距离为 d，那么 直线 l和O 相交 d； 直线 和O 相切 r； 直线 l和O 相离 。圆和圆定义：两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫10做两个圆的外
22、切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rr)两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正 n 边形的对称轴有 n 条。
